Численные методы оптимизации. Рейзлин В.И. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

33
5. УСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
Ряд инженерных задач связан с оптимизацией при наличии некоторого ко-
личества ограничений на управляемые переменные. Такие ограничения суще-
ственно уменьшают размеры области, в которой ищется оптимум. На первый
взгляд может показаться, что уменьшение размеров допустимой области должно
упростить процедуру поиска оптимума. Однако, напротив, процесс оптимизации
становится более сложным, поскольку при наличии ограничений даже нельзя
использовать применяемые нами выше условия оптимальности. При этом может
нарушаться даже основное условие, в соответствии с которым оптимум должен
достигаться в стационарной точке, характеризующейся нулевым градиентом.
Например, безусловный минимум функции
2
2f x x
имеет место в стаци-
онарной точке
2x
. Но если задача минимизации решается с учетом ограниче-
ния
4x
, то будет найден условный минимум, которому соответствует точка
4x
. Эта точка не является стационарной точкой функции f(х), так как
44f
. Поэтому нужно изучить необходимые и достаточные условия опти-
мума в задачах с ограничениями, которые иначе называют задачами условной
оптимизации.
5.1. Задачи с ограничениями в виде равенств
Рассмотрим задачу:
min,
n
f x x R
при ограничениях
0, 1,2,...,
k
h x k K
.
Одним из методов ее решения является метод множителей Лагранжа.
5.1.1. Множители Лагранжа
С помощью метода множителей Лагранжа по существу устанавливаются
необходимые условия, позволяющие идентифицировать точки оптимума в зада-
чах оптимизации с ограничениями-равенствами. При этом задача с ограничени-
ями преобразуется в эквивалентную задачу безусловной оптимизации, в которой
фигурируют некоторые неизвестные параметры, называемые множителями
Лагранжа.
Рассмотрим задачу с одним ограничением-равенством:
min,
n
f x x R
, (5.1)
1
0hx
. (5.2)
В соответствии с методом множителей Лагранжа эта задача преобразуется
в следующую задачу безусловной минимизации:

Страницы