Численные методы оптимизации. Рейзлин В.И. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

34
1
; min,
n
L x f x h x x R
. (5.3)
Функция
;Lx
называется функцией Лагранжа. Здесь
– множитель
Лагранжа.
Пусть при заданном значении
0
безусловный минимум функции
;Lx
по переменной х достигается в точке
0
xx
и
0
x
удовлетворяет уравне-
нию
0
1
0hx
.
Тогда, как не трудно видеть,
0
x
минимизирует (5.1) с учетом (5.2), по-
скольку для всех значений х, удовлетворяющих (5.2),
1
0hx
и
.
Разумеется, нужно подобрать значение
0
таким образом, чтобы коор-
дината точки безусловного минимума
0
x
удовлетворяла равенству (5.2). Это
можно сделать, если, рассматривая
как переменную, найти безусловный ми-
нимум функции Лагранжа (5.3) в виде функции
, а затем выбрать значение
,
при котором выполняется равенство (5.2).
Пример.
Решить задачу
22
12
minf x x x
при ограничении
1 1 2
2 2 0h x x x
.
Построим функцию Лагранжа:
22
1 2 1 2
; 2 2L x x x x x
и определим ее безусловный минимум. Найдем стационарную точку функции
Лагранжа, приравняв нулю компоненты ее градиента:
0
11
1
2 2 0
L
xx
x
,
0
22
2
2 0
2
L
xx
x

.
Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка
0
x
мини-
муму, вычислим матрицу Гессе функции Лагранжа, рассматриваемой как функ-
ция от
x
:
20
;
02
L
Hx




.
Эта матрица положительно определена, так как для любого ненулевого
вектора
,
T
u a b

Страницы