Численные методы оптимизации. Рейзлин В.И. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

36
Здесь
1
,...,
K

– множители Лагранжа, то есть неизвестные параметры,
значения которых нужно определить. Приравнивая частные производные L по
x
нулю, получаем следующую систему
12
, , ,
... 0
n
L x L x L x
x x x
.
Если найти решение этой системы в виде функций от вектора
затрудни-
тельно, то можно расширить последнюю систему путем включения в неё огра-
ничений-равенств:
12
0, 0,..., 0
K
h x h x h x
.
Решение расширенной системы, состоящей из N+K уравнений с N+K не-
известными, определяет стационарную точку функции L. Затем реализуется
процедура проверки на минимум или максимум, которая проводится на основе
вычисления элементов матрицы Гессе функции Лагранжа, рассматриваемой как
функция от x.
5.2. Задачи с ограничениями в виде неравенств
Рассмотрим задачу
min,
n
f x x R
(5.4)
с ограничениями-неравенствами
0, 1,2,...,
j
g x j J
. (5.5)
Пусть область (5.5) (обозначим ее D) – не пустое, ограниченное замкнутое
множество. Функция Лагранжа для задачи (5.4) с ограничениями (5.5) определя-
ется формулой
1
; ( )= ( ),
J
T
jj
j
L x f x g x f x g x
(5.6)
где λ – вектор множителей Лагранжа:
1
( ,..., )
T
J
 
,
В точке локального минимума x
*
задачи (5.4), (5.5) каждое из ограничений (5.5)
выполняется либо в виде равенства
*
0
j
gx
, либо в виде неравенства
*
0.
j
gx
Ограничения первого вида называются активными ограничениями.
Остальные ограничения называются неактивными ограничениями.
Если точка
*
xD
и ограничения
*
0, 1,..., ,
k
jk
g x j s s J
активны, то
условие линейной независимости градиентов функций
*
, 1,..., ,
k
jk
g x j s s J
активных ограничений в точке x
*
называется условием регулярности ограничи-
вающих функций в точке x
*
. Это условие означает, что, например, при n=2 коли-
чество ограничивающих функций, проходящих через точку x
*
, не должно пре-
вышать 2 и в точке x
*
векторы
12
( ), ( )g x g x
не должны быть коллинеарны.
Например, на рис. 20 в ситуации (а) количество ограничивающих функций, про-

Страницы