Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

140
имеет нетривиальное, т. е. отличное от нуля, решение. Последнее озна-
чает, что при этих
оператор
( I M)
перестает быть инъективным и,
следовательно, обратный оператор
1
( I M)
отсутствует. Действи-
тельно, если
0f
есть решение (4.39), то и
f
есть также решение
(4.39) для любого действительного или комплексного
. Тем самым
взаимная однозначность оператора нарушается. Теория оказывается
проще в комплексном случае, так что будем считать
. Те значения
, при которых
()B
, т. е.
1
( I M)
является линейным
ограниченным оператором, называются регулярными и образуют так
называемое резольвентное множество
(M)
оператора M, а сам опе-
ратор
1
R ( I M)

для
(M)

называется резольвентой оператора
M. Все остальные
, не входящие в резольвентное множество, называ-
ются спектром оператора M и обозначаются
(M)
. Таким образом,
комплексная плоскость делится на две части: резольвентное множество
(M)
и спектр
(M)
. Значения
, при которых уравнение (4.38) имеет
решение, называются собственными значениями линейного операто-
ра M. Векторы f, являющиеся решением (4.38) (с точностью до посто-
янного множителя) при некотором собственном значении
, называют-
ся собственными векторами оператора M, отвечающими данному
.
Если B – функциональное пространство, то собственные векторы часто
называют собственными функциями. Нетрудно показать, что множе-
ство собственных векторов для некоторого
образует векторное про-
странство. Вместе с тем это векторное пространство является подмно-
жеством пространства B. Таким образом, собственные векторы, отвеча-
ющие некоторому собственному значению
, образуют векторное под-
пространство в B, которое называется собственным подпространством,
отвечающим
. Множество
(M)
p
всех собственных значений опера-
тора M называется его точечным (или дискретным) спектром. Для
конечномерных операторов спектр совпадает с точечным спектром. Ес-
ли M − бесконечномерный оператор, то при некоторых
(M)

опера-
тор
1
( M)I
может существовать, но быть неограниченным. Если при
этом область определения оператора
1
( M)I
плотна в B (а это, как
правило, выполняется), то такие
образуют так называемый непре-
рывный спектр
(M)
c
оператора M. Определенную выше резольвенту
можно рассматривать как отображение
()B
комплексной плоско-
сти на векторное пространство
()B
, т. е. как операторнозначную
функцию комплексного аргумента.

Страницы