Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

138
сжатия. Чтобы весь предыдущий анализ остался справедливым, новую
норму следует искать среди множества эквивалентных норм. При пере-
ходе к эквивалентным нормам сходящиеся последовательности остают-
ся сходящимися, замкнутые множества – замкнутыми, открытые – от-
крытыми и т.д. Если оператор M в норме
удовлетворял условию
Липшица, то и в эквивалентной норме
*
он будет ему удовлетво-
рять.
Окончательное решение относительно сходимости метода после-
довательных приближений можно принять лишь в том случае, если
найдена эквивалентная норма, в которой оператор M является операто-
ром сжатия, либо построена минимально возможная эквивалентная
норма, и M по-прежнему не является оператором сжатия. Минимальная
норма тесно связана с так называемым спектральным радиусом опера-
тора. Процедура установления признака существования оператора
1
L
состояла в том, что мы записывали ряд усиливающих друг друга нера-
венств, пока не получили геометрическую прогрессию. Здесь уже все
стало очевидным, но, к сожалению, и очень грубым. Можно установить
и более тонкие результаты, если ограничиться следующим:
11
L (I M) M M
nn
nn


. (4.37)
Применим к последнему ряду признак Коши сходимости числовых
рядов и вычислим предел
lim M
n
n
n
r

.
Число r называется спектральным радиусом оператора M.
Поскольку
MM
n
n
, то очевидно, что
Mr
. Если
, то ряд
(4.37) сходится и, значит, оператор
1
L
существует; если
1r
, то ряд
(4.37) расходится и у оператора L нет обратного оператора. При
мы не можем ничего сказать относительно сходимости ряда.
Зная спектральный радиус r, можно построить эквивалентную
норму в пространстве B, при которой норма линейного оператора M
сколь угодно близка к его спектральному радиусу. Теперь нетрудно
сформулировать признак сходимости метода последовательных при-
ближений в терминах спектрального радиуса оператора M, а именно:
если спектральный радиус
(M) 1r
, то последовательные приближения

Страницы