Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

136
Величина
0
Lfg
в неравенстве (4.35) – норма невязки нулевого
приближения – легко вычисляется, поэтому не составляет труда, зная
M
, вычислить необходимое для достижения заданной точности число
итераций.
Интересно рассмотреть действие оператора M и условие
M1
с
геометрической точки зрения. Пусть L, а следовательно и M, отобража-
ют банахово пространство в себя:
BB
(в противном случае мы не
сможем ввести степень оператора). Тогда
01
, ,..., ,...
n
f f f B
– точки од-
ного и того же пространства B. Расстояние между двумя соседними точ-
ками последовательности
{}
n
f
определяется нормой их разности
1nn
ff
. Посмотрим, как меняется это расстояние с ростом n, или, что
то же, под действием оператора M. Выразим расстояние между точками
и
n
f
через расстояние между точками
n
f
и
. Поскольку
1
M,
nn
f g f

1
M,
nn
f g f

получаем
1 1 1
M M M .
n n n n n n
f f f f f f
Если
1M
, то очевидно, что расстояние между двумя последова-
тельными точками сокращается с ростом n точки сближаются. При
1M
расстояния между соседними точками могут расти. Если
M1
, то оператор M называют оператором сжатия. Точное опреде-
ление таково. Говорят, что оператор A удовлетворяет условию Липши-
ца на
(A)D
с константой (Липшица) q, если существует такое
q 
,
что
AAf g q f g
,
, (A)f g D
.
Если
1q
, то оператор A называется оператором сжатия (или
сжимающим). Термин этот очень нагляден, что вполне подтверждается
геометрической иллюстрацией действия оператора M. В заключение
этого параграфа рассмотрим часто используемое приложение метода
последовательных приближений к решению систем линейных алгебра-
ических уравнений и ограничения, вытекающие из условия
M1
.
Пусть требуется решить уравнение
Af g
, (4.36)
где оператор
A:
nn
, обычно записываемый в виде квадратной
nn
матрицы (в соответствующем ортонормированном базисе), а

Страницы