Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

137
f, g
n
– векторы неизвестных и правых частей соответственно.
Представим оператор A в виде
(I M)
, где I – единичная матрица, а M –
некая новая матрица (оператор). Пусть
ij
a
– элементы матрицы A, тогда
числа
()
ij ij
a
будут элементами матрицы M (
ij
– символ Кронекера).
Уравнение (4.36) запишется в виде
(I M)f g
.
Если
1M
, мы можем организовать итерационную процедуру
1
f g Mf
nn

и вычислить
. Это хорошо известный метод решения систем
линейных уравнений – метод Якоби. Выясним, какие ограничения на
элементы матрицы A накладывает требование
M1
. Будем работать с
нормой
, тогда
1
M max
n
ij ij
j
i
a

.
Так как
M1
, то, очевидно, что
1
1
n
ij ij
i
a

для любого j, т. е.
1
1 1.
n
ij ij ij jj
i i j
a a a


Откуда
1 1 ,
ij jj ij
ij
a a a
или каждый диагональный элемент по модулю должен быть больше
суммы модулей всех остальных элементов в данном столбце. Это хоро-
шо известное условие сходимости метода Якоби – условие диагональ-
ного преобладания матрицы A.
4.13. Спектральный радиус оператора
Метод последовательных приближений работает, как мы убеди-
лись, в том случае, когда
M1
или оператор M есть оператор сжатия.
Ну а если
M1
? Значит ли это, что метод последовательных прибли-
жений не применим? Не обязательно. Не исключено, что выбор нормы
оказался неудачен и с другой нормой наш оператор стал бы оператором

Страницы