Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

139
сходятся к решению уравнения. Поскольку мы можем построить экви-
валентную норму
*
M
, такую, что
*
M , 0r

,
то полученную оценку скорости сходимости (4.35) можно переписать в
виде
0
( (M) )
L
1 ( (M) )
n
n
r
f f f g
r

.
Если для последовательных приближений справедливо неравенство
,
n
n
f f cq c const
,
то говорят, что приближения
n
f
сходятся к
f
со скоростью геометриче-
ской прогрессии со знаменателем q. Таким образом, для линейного
уравнения
L (I M)f f g
последовательные приближения сходятся к решению со скоростью гео-
метрической прогрессии, знаменатель которой сколь угодно близок к
спектральному радиусу
. Все сформулированные критерии и оцен-
ки предполагают, что мы умеем вычислять норму оператора или его
спектральный радиус. Однако пока в нашем распоряжении только такое
неконструктивное определение нормы, как максимальное значение кон-
станты m, при котором для любого
fB
Mf m f
,
или, иначе говоря,
M
M max
fB
f
f
.
Рассмотрим уравнение
Mff
, (4.38)
где
– некое число (вообще говоря, комплексное). Взяв норму от пра-
вой и левой частей, получим:
MMf f f
.
Следовательно,
M
не меньше максимального значения
, кото-
рое удовлетворяет уравнению (4.38). Таким образом, задача оценки
нормы оператора сводится к поиску значений
, при которых уравне-
ние (4.38) или уравнение
( M) 0If

(4.39)

Страницы