Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

134
Действительно, для любого
(L)Dv
, а значит и
(P)Dv
по опре-
делению нормы оператора имеем
P P , L L v v v v
.
Аналогично для любого
(N)uD
NNuu
.
Поскольку
L (N)Dv
, то получаем
P N(L ) N L ( N L ) . v v v v
Отсюда в соответствии с определением нормы оператора следует
неравенство (4.31).
Если
, то произведение NN будем называть степенью опе-
ратора и обозначать
2
N
. Точно так же можно определить любую це-
лую степень оператора. Естественно считать, что
0
NI
.
Таким образом, выражение (4.30) для
n
f
можно записать через сте-
пень оператора M:
22
23
1
23
30
1
(I M) M (I M) M ( M )
(I M M ) M ... I M M ,
n n n
n
in
n
i
f g f g g f
g f g f




или учитывая, что
0
fg
, а
0
MI
,
1
1
M.
n
n
i
i
fg
Мы ожидаем, что
lim
n
n
ff

и
0
M.
i
i
fg
(4.32)
Если для оператора L существует обратный оператор
1
L
, то
1
Lfg
, и значит
11
0
L (I M) M
i
i

. (4.33)
Все это, однако, формальные построения, ибо нет уверенности в
том, что ряд (4.32) сходится. Посмотрим, при каких же условиях это
происходит, т. е. в каком случае метод последовательных приближений
работает. Пусть B – банахово пространство и
L
()B
, а значит, и

Страницы