Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

132
и в итоге мы получаем требуемый результат.
Введенная выше норма оператора задает на
( , )BC
структуру ба-
нахова пространства. Покажем, что пространство
( , )BC
является пол-
ным по операторной норме. Выберем последовательность Коши опера-
торов
n
L
( , )BC
и покажем, что предел этой последовательности так-
же лежит в
( , )BC
.
1. Так как
L
n
– последовательность Коши, то
L L 0
nm

при
,nm
; значит, последовательность
{L }
n
f
, где
fB
и
L
n
fC
, так-
же образует последовательность Коши, поскольку
Но раз C полно, то
L
n
f g C
.
2. Пусть
L limL
n
n
f f g


. Очевидно, что L – линейный оператор.
Убедимся, что он ограничен. Действительно,
L lim L lim L .
nn
nn
f f f
 
Но так как
L L L L и L L 0,
n m n m n m
то
L
n
тоже образует последовательность Коши в
1
. Обозначим
lim L
n
n
, тогда
L.ff
3. Осталось показать, что
LL
n
, т. е. что
L L 0.
n

Поскольку
{L }
n
– последовательность Коши, то для любого
0
найдется номер N, такой, что если
,m n N
, то
LL
nm

. Тогда при
,m n N
имеем
LL
nm
f f f

и
L L lim L L ,
n n m
m
f f f f f

что справедливо для любого
fB
. Отсюда
LL
n

, а поскольку
произвольно, то
lim L L 0.
n
n


Страницы