Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

130
рые в некотором смысле все лучше и лучше приближают оператор
1
L
.
Этот метод носит название метода последовательных приближений.
По существу, оператор
1
L
интерпретируется как предел некоторой по-
следовательности операторов, и эта последовательность строится в ходе
решения задачи. Для того чтобы придать смысл всем этим интуитивным
соображениям, требуется определить понятие сходимости операторов и
степень близости их друг к другу. Один из подходов основан на прида-
нии множеству операторов структуры банахова пространства и исполь-
зовании свойств этого пространства. Пусть V и W – векторные про-
странства, а
1
L, L
и
2
L
– линейные операторы,
12
, , : L L L V W
.
Определим оператор
12
(L L )
, называемый суммой операторов
1
L
и
2
L
, как
1 2 1 2
(L L ) L L , f f f f V  
и оператор
, называемый произведением оператора на
число, как
1
( L) (L ), , .f f f V
 
Нулевой оператор обозначим через O, а полученное векторное про-
странство линейных операторов – через
( , )VW
.
Если рассматриваются операторы, отображающие V в V, то вектор-
ное пространство таких операторов можно обозначить через
()V
. Тот
факт, что оператор L из
( , )VW
имеет обратный оператор, можно запи-
сать как существование оператора
1
L
( , )VW
(обратите внимание на
порядок следования пространств V и W). Теперь, когда мы построили
векторное пространство линейных операторов (а значит, можем рас-
сматривать линейный оператор как вектор или точку этого простран-
ства), естественно сделать попытку ввести на этом пространстве норму,
чтобы иметь возможность оценивать близость точек пространства друг
к другу. Попробуем определить норму оператора, обобщив уже извест-
ное нам понятие равномерной нормы вектора (функции). Рассмотрим
оператор
: (L) (L)L D R
, и пусть
(L)DB
,
(L)RC
, где B и C – ба-
наховы пространства (мы выбираем здесь банаховы пространства пото-
му, что нам нужно, чтобы векторы из
(L)D
и
(L)R
обладали нормой).
Оператор L отображает точку f из
(L)D
в точку Lf из
(L)R
. Назовем
этот оператор ограниченным, если существует такое число
0m
, что

Страницы