Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

131
L , (L)
CB
f m f f D  
(4.27)
(первая норма – в векторном пространстве C, а вторая – в B). Если опе-
ратор L не ограничен на
(L)D
, то он называется неограниченным. Оче-
видно, для каждой точки
(L)fD
существует некое минимальное зна-
чение m, для которого справедливо неравенство (4.27) (разумеется, если
L – ограниченный оператор). Максимальное же значение таких m, при
котором неравенство (4.27) справедливо во всех точках
(L)fD
, мы
будем называть нормой оператора L и обозначать
L
.
В случае линейных операторов вопрос об их ограниченности реша-
ется следующей теоремой.
Теорема. Линейный оператор L из B в C ограничен на
(L)D
тогда
и только тогда, когда он непрерывен.
Далее под
( , )BC
мы будем понимать векторное пространство ли-
нейных ограниченных операторов.
Разберем пример. Пусть
L:
nn
− n-мерный линейный опера-
тор, который, как мы уже знаем, в базисе
может быть задан матри-
цей
L.
ji
ij
ji
f f e

Предположим, что
n
наделено нормой
, тогда
1
L max max
max (max ) ,
n
j i j i
ii
jj
ii
ji
i
j
i
i
f f f
f m f




где
max
j
i
j
i
m
. Отсюда
L m
. Покажем, что
L m
. Попробуем
найти такое
f
, для которого
Lf m f

. Из определения m видно,
что существует такое целое k, при котором
k
i
i
m
. В качестве
f
вы-
берем вектор с нормой, равной единице, и координатами
kk
ii
. Тогда
цепочка неравенств обращается в равенства
L max
j i j i k
iii
j
i i i
f f f m f

,

Страницы