Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

128
3. Оператор L не инъективен, т. е. не взаимно однозначен. В та-
кой ситуации построение оператора
1
L
невозможно, так как существу-
ет, по крайней мере, один элемент
(L)gR
, для которого решение не-
единственно, т. е. имеется более одного решения.
4.11. Матрица линейного оператора
Если линейный оператор определен на пространстве с базисом, то
он может быть записан в виде матрицы (конечной или бесконечной, в
зависимости от размерности пространств, на которых он действует).
Действительно, пусть H – сепарабельное гильбертово пространство,
{}
i
e
– ортонормированный базис в нем, а L – линейный оператор,
L:HH
. Вектор
fH
отображается оператором L в некий вектор
gH
. Аналогично и базисные векторы
i
eH
будут отображаться в
некоторые векторы
i
H
. Поскольку
есть базис, образы
i
базис-
ных векторов
i
e
могут быть записаны через свои компоненты в этом ба-
зисе:
1
L , ,
jj
i i i j i
ee
(4.25)
где числа
j
i
являются компонентами вектора
i
в базисе
{}
j
e
, т. е.
12
( , ,..., ,...)
j
i i i i
. Располагая числа
j
i
в виде таблицы, где i – номер
строки, а
j
– номер столбца, получим квадратную матрицу
, которая
называется матрицей оператора L в базисе
{}
i
e
. Векторы
f
и
g
в
этом же базисе имеют вид
1
, g , , ,
i i i i
ii
f f e g e f g

(4.26)
где
,
ii
fg
– компоненты векторов
f
и
g
в базисе
{}
i
e
. Теперь, пользу-
ясь линейностью оператора и выражениями (4.25), (4.26), уравнение
Lfg
можно записать в так называемой компонентной форме:
L L L
.
i i i j
i i i j
i i i j
j i k
i j k
j i k
f f e f e f e
f e g e








Страницы