Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

126
2. В качестве примера интегрального оператора рассмотрим
уравнение Фредгольма
( ) ( , ) ( ) ( ),
b
a
f x k x y f y dy g x
где
00
, ([ , ]); ([ , ] [ , ])f g C a b k C a b a b
, k и
g
– заданные функции.
Если определить оператор L выражением
L ( , ) ( ) ,
b
a
f k x y f y dy
то L будет линейным оператором
01
L: ([ , ]) ([ , ])C a b k C a b
и исход-
ное уравнение запишется в виде
L.f f g
Покажем, что этот оператор непрерывен в пространстве непрерыв-
ных функций с равномерной нормой. Пусть последовательность
1
{}
nn
f
такова, что
. Рассмотрим норму разности
L L ( , )( ( ) ( ))
max ( , )( ( ) ( ))
max ( , ) ( ( ) ( )) .
b
nn
a
b
n
x
a
b
n
x
a
f f k x y f y f y dy
k x y f y f y dy
k x y f y f y dy
Очевидно, что интеграл в последнем выражении стремится к нулю
при
n
ff
.
3. Из разнообразных дифференциальных операторов рассмот-
рим сначала оператор дифференцирования
L.ff
Ясно, что этот оператор определен лишь на множестве функций,
имеющих производную. Он линеен, что легко проверить, но не непре-
рывен. Для того чтобы это показать, нам достаточно найти один эле-
мент, для которого непрерывность не имеет места. Выберем последова-
тельность
1
{}
nn
f
, где
1
sin( )
n
f nx
n
. В пространстве непрерывных
функций, определенных на
[ , ]ab
с равномерной нормой, эта последова-

Страницы