Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

124
плотное множество
{}
n
f
. Ортогонализуем
{}
n
f
с помощью процесса
Грама-Шмидта, отбрасывая те
n
f
, которые оказываются линейно зави-
сящими от уже образованных ортонормированных векторов
i
e
. Полу-
ченное ортонормированное множество
{}
i
e
может быть конечно, тогда
и H – конечномерно. В любом случае оно полно, так как линейная обо-
лочка, образованная векторами
{}
n
f
, совпадает с линейной оболочкой,
образованной векторами
{}
n
e
(в процессе ортогонализации мы отбрасы-
вали только линейно зависимые векторы), а
{}
n
f
плотно в H. Следова-
тельно, вектор, ортогональный всем векторам из
{}
n
e
, есть нулевой век-
тор. Таким образом, ортонормированное множество
{}
n
e
полно, а зна-
чит, образует ортонормированный базис сепарабельного гильбертова
пространства H. Существование базиса делает гильбертово простран-
ство H подобным (или, как говорят, изоморфным) евклидову простран-
ству
n
(если H конечномерно) или пространству
2
– пространству
бесконечных последовательностей чисел с евклидовой нормой (если H
бесконечномерно).
4.10. Линейные операторы
Рассмотрим уравнение
, (4.24)
где
f
и
g
– элементы линейных пространств V и W соответственно, а
A – отображение пространства V в пространство W. Если V и W – про-
странства функций, отображение A будем называть оператором. Наша
задача: зная
gW
и оператор A, определить, если это возможно,
fV
.
Договоримся сначала о терминах и определениях. Пусть V и W – линей-
ные пространства, A – оператор, определенный на
(A)DV
, со значе-
ниями в
(A)RW
. Если оператор A таков, что любому
(A)gR
соот-
ветствует единственный элемент
(A)fD
, то он называется взаимно
однозначным (а также инъективным, или вложением). Если
(A)RW
(т. е. область значений – все пространство W), то оператор A называется
сюръективным (или наложением). Если он к тому же взаимно од-
нозначен, то в этом случае он называется биективным.
Рассмотрим некоторые примеры отображения
12
A:
.
1.
Ay x x
. Очевидно,
1
(A)R
, и A инъективен, следова-
тельно, A – биекция.

Страницы