Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

122
Свойства минимальности и полноты наиболее просто устанавли-
ваются для ортогональных векторов. Выше мы уже доказали, что орто-
гональные векторы линейно независимы, следовательно, полная орто-
гональная система будет и минимальна. В терминах ортогональных век-
торов полнота определяется так. Пусть H – гильбертово пространство и
i
eH
. Последовательность называется полной, если ортогональное до-
полнение к ней равно нулю (есть множество, содержащее единственный
элемент нуль). Иначе говоря, если
{}
i
e
– полная система векторов, то не
существует отличных от нуля векторов из H, ей ортогональных, так как
из
( , ) 0
j
fe
для всех
{}
ji
ee
следует
0f
. Пусть
3
H
. Выберем
некоторый вектор
1
eH
. Он, очевидно, не образует полной системы
векторов. Подпространство, им порождаемое, есть
, а ортого-
нальное дополнение отлично от нуля и представляет собой плоскость,
проходящую через нуль перпендикулярно
1
e
(рис. 33а). Выберем в этой
плоскости, т. е. в ортогональном дополнении, элемент
2
e
и образуем по-
следовательность
12
{ , }ee
. Она также не полна и порождает пространство
2
, т. е. плоскость, а ортогональное дополнение к ней вновь не нуль, а
представляет собой прямую, перпендикулярную этой плоскости (рис.
33б). И наконец, когда мы выберем на этой прямой третий вектор
3
e
, то
последовательность
1 2 3
{ , , }e e e
станет полной, будет порождать про-
странство
, а ортогональное дополнение к ней станет нулевым
(рис. 33в).
Рис. 33. Построение полной системы ортогональных векторов в
3

Страницы