Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

123
Полная ортонормированная последовательность векторов
1
{}
ii
e
будет базисом пространства H, если любой элемент
fH
может быть
записан в виде сходящегося к
f
ряда Фурье:
1
.
i
i
i
f f e
Поскольку коэффициенты
i
f
однозначно определяются равен-
ством
( , )
i
i
f f e
, нам надо доказать, что если
{}
i
e
– полная ортонорми-
рованная последовательность, то ряд
сходится к
fH
. Дей-
ствительно, так как H – гильбертово пространство, оно полно по норме
( , )ff
, т. е. предел любой последовательности Коши элементов из H
есть элемент из H. Иначе говоря, для любых
12
, ,...,
m
 
и любого m
существует элемент
fH
, такой, что
1
m
i i m
i
f e f s

,
где
– любое заданное положительное число (обратите внимание, что
последовательность элементов, стремящаяся к
f
, образована не эле-
ментами
ii
e
, а частичными суммами
1
m
m i i
i
se
, которые сами явля-
ются элементами из H). В силу же свойства наилучшего приближения
ряда Фурье, имеем
11
( , )
mm
i i i i
ii
f e f f e e



.
Переходя к пределу по
m 
, при произвольном
получаем ра-
венство
1
( , )
ii
i
f f e e
.
Таким образом, ряд Фурье действительно сходится к элементу
fH
, и потому последовательность
{}
i
e
есть базис. Раз последова-
тельность
{}
i
e
является ортонормированной, то и базис, ею образован-
ный, называется ортонормированным. И наконец, можно показать, что
сепарабельное гильбертово пространство H имеет ортонормированный
базис. Действительно, если H сепарабельно, то оно содержит счетное

Страницы