Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

121
из векторного пространства V образует базис этого пространства, если
любой элемент
fV
можно единственным образом представить в виде
сходящегося по норме ряда
i
i
i
f f e
.
С другой стороны, если задана последовательность ненулевых ли-
нейно независимых векторов
{ },
ii
g g V
, то все возможные конечные
(состоящие из конечного числа членов) линейные комбинации этих век-
торов образуют векторное пространство
SV
. Если
SV
, то элемен-
ты
{}
i
g
образуют базис V. Возникает два вопроса: 1) в каком случае
SV
и 2) как выбрать элементы так, чтобы они были линейно незави-
симы? Для того чтобы равенство
SV
выполнялось, последователь-
ность векторов
должна быть полна. Обратите внимание на то, что
здесь речь идет о полноте системы векторов, а не о полноте векторного
пространства. Вместе с тем понятие полноты и в том и в другом случае,
по сути, означает, что элементов, будь то пространства, или последова-
тельности векторов, или еще чего-нибудь, должно быть достаточным
для того, чтобы некоторое свойство выполнялось. В случае векторного
пространства элементов должно быть столько, чтобы предел любой по-
следовательности элементов также был элементом из этого простран-
ства, а в нашем случае последовательность должна содержать столько
элементов, чтобы
SV
. Более подробно мы рассмотрим свойство пол-
ноты чуть ниже, применительно к гильбертовым пространствам. Если
1
{}
ii
g
порождает пространство S, такое, что
SV
, то V имеет счетную
размерность, т. е. является пространством типа , элементами которого
служат бесконечные наборы чисел. Если же размерность V несчетна, то
SV
и в лучшем случае S может быть плотно в V. Тогда любой вектор
fV
можно записать в виде бесконечного ряда:
i
i
i
f f g
.
Ответ на второй вопрос связан со свойством минимальности по-
следовательности. Понятно, что если
полна, то добавление новых
элементов не лишает ее этого свойства. Векторы при этом становятся
линейно зависимыми и потому не могут служить базисом. Минималь-
ный же набор векторов
{}
i
g
, сохраняющий свойство полноты, как раз и
будет линейно независимым и тем самым является кандидатом в базисы
пространства V.

Страницы