Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

120
множество по-прежнему подходит. Дело в том, что целые числа рас-
положены на числовой оси слишком редко, или, как говорят, множество
неплотно в
1
. Существует ли и для такое
, для которого рацио-
нальные числа перестают аппроксимировать произвольное веществен-
ное число? Оказывается, не существует. Между любыми, сколь угодно
близко расположенными рациональными числами, всегда найдется еще
одно рациональное число. Мы можем сконструировать такую последо-
вательность рациональных чисел, что она будет стремиться к любому
вещественному числу (не только рациональному, но и иррационально-
му). Таким образом, множество отличается от
1
только тем, что не
содержит все свои предельные точки. Иными словами,
1
есть замыка-
ние . В этом случае говорят, что множество плотно в множестве
1
. Формальное определение плотного множества таково. Пусть
12
, S S B B
– банахово пространство. Множество
1
S
называется
плотным в
2
S
, если замыкание
1
S
в
2
S
совпадает с
2
S
. Наличие в не-
счетном множестве
1
плотного в нем счетного множества позволяет
сколь угодно точно аппроксимировать любое число из
1
, пользуясь
только числами из . Банахово пространство B, содержащее счетное
плотное множество, называется сепарабельным. Иными словами, если
B сепарабельно, то существует множество
SB
,
1
{}
nn
Sf
, такое, что
для любого
и заданного
0
найдется
n
fS
, удовлетворяющее
неравенству
n
ff

. Приведем несколько примеров сепарабельных
пространств.
1. Обобщая случай
1
, в котором множество рациональных чисел
плотно, рассмотрим векторное пространство
n
. Оно также содер-
жит счетное плотное множество. Им, очевидно, будет множество эле-
ментов с рациональными координатами.
2. Пространство
0
([ , ])C a b
непрерывных функций, определенных
на отрезке
[ , ]ab
с равномерной нормой, также сепарабельно, так как
множество многочленов с рациональными коэффициентами плотно в
нем.
Если B несчетно, но сепарабельно, т. е. содержит в себе плотное
подмножество S, то любой элемент из B может быть сколь угодно точно
аппроксимирован элементом счетного множества S. Это свойство поз-
воляет в ряде случаев выбрать и в бесконечномерных пространствах
удобный базис. Как уже говорилось, последовательность векторов
1
{}
ii
e

Страницы