Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

118
Так как
2
0ff
, то из последнего равенства следует, что
2
2
1
()
m
i
i
ff
.
Это неравенство справедливо при любом m, и поскольку квадрат
нормы
2
f
не зависит от m, ряд
2
1
()
i
i
f
сходится, и мы получаем не-
равенство Бесселя:
2
2
1
()
i
i
ff
. (4.23)
Геометрически это означает, что сумма квадратов проекций векто-
ра
f
на ортогональные направления не превосходит квадрата длины
самого вектора (бесконечномерный аналог теоремы Пифагора). Если S
есть некоторое подмножество гильбертова пространства H, т. е.
SH
,
то элементы из H, ортогональные всем векторам из S, образуют множе-
ство, называемое ортогональным дополнением к S (обозначается
S
);
естественно,
.
Простым и очень наглядным примером в
3
служит прямая и пер-
пендикулярная ей плоскость (рис. 32): любой вектор на прямой S орто-
гонален каждому вектору, лежащему на перпендикулярной плоскости
S
, и наоборот.
4.9. Базис гильбертова пространства
В n-мерном векторном пространстве базисом является любая сово-
купность n линейно независимых элементов. Каждый вектор может
быть однозначно представлен в виде линейной комбинации базисных
векторов. Аналогично, в случае бесконечномерного пространства V, бу-
дем называть базисом последовательность линейно независимых векто-
ров
1
{}
ii
e
,
i
eV
, если любой элемент
f
из V может быть однозначно
представлен в виде сходящегося ряда
1
i
i
i
f f e
.
Из требования однозначности такого представления следует, что
компоненты разложения
i
f
нулевого вектора равны нулю.

Страницы