Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

117
( , )
j
j
f f e
. (4.21)
Ряд (4.20), коэффициенты которого находятся по формулам (4.21),
называется рядом Фурье для
f
, а коэффициенты
i
f
– коэффициента-
ми Фурье. Любой отрезок ряда Фурье, т. е. его частичная сумма, обла-
дает замечательным свойством наилучшего приближения, а именно: до-
пустим, мы хотим аппроксимировать некоторый элемент
fH
функ-
цией
f
, являющейся линейной комбинацией m векторов
i
e
:
1
m
ii
i
f f e

, (4.22)
где
1
i
– числа. Наилучшим естественно считать то приближение,
для которого
.
Норма разности
ff
является функцией
, 1,...,
i
im
и достига-
ет минимума в том случае, если коэффициенты
i
есть коэффициенты
Фурье и находятся по формуле (4.21). Иначе говоря, линейная комбина-
ция (4.22) представляет собой отрезок ряда Фурье. Действительно,
2
2
,
i i i i
f f f e f e f


.
Вычисляя скалярное произведение, получим
2
2
2 , , , , ,
i i i i i i
f f f f e e e
.
Второй член, очевидно, равен
2 ( , ) 2
i
i i i
f e f


, где
i
f
– ко-
эффициенты Фурье, вычисленные по формуле (4.21), а третий в силу
ортонормированности
{}
i
e
, равен
2
i
. Далее, имеем
2
22
22
2 ( 2 )
ii
i i i i
f f f f f f
.
Добавим и вычтем из скобки величину
2
()
i
f
. Тогда второе слагае-
мое можно представить как квадрат разности
2
2
2
2
( ) ( )
ii
i
f f f f f

.
Нетрудно видеть, что это выражение минимально при
i
i
af
, что и
требовалось доказать. Таким образом, мы получаем
2
2
2
min ( )
i
f f f f f f
.

Страницы