ВУЗ:
Составители:
115
( , ) cos .f g f g
Числа
cos( ) и cos( )
gf
f f g g
называются проекциями
f
на
g
и
g
на
f
соответственно. В том случае, когда норма одного из
векторов, например
g
, равна единице, имеем
( , ) cos
g
f g f f
, т. е.
скалярное произведение вектора
f
на единичный вектор
g
равно про-
екции
f
на
g
. Если
( , ) 0fg
и
0, 0fg
, то
2
. В этом
случае векторы называются ортогональными, что обозначается
fg
.
Если имеется последовательность ненулевых векторов
{}
n
f
и для каж-
дой пары векторов
i
f
,
j
f
справедливо равенство
( , ) 0,
ij
f g i j
, то
такая последовательность называется ортогональной. Легко показать,
что ортогональные векторы линейно независимы, т. е.
1 1 2 2
... 0
nn
f f f
,
только если
12
... 0
n
. Действительно, пусть
1
{}
n
ii
f
– ортого-
нальные векторы и допустим, что они линейно зависимы, т. е.
0
ii
f
– нулевой вектор. Возьмем любой вектор
1
{}
n
j i i
ff
и умно-
жим на него скалярно обе части равенства
( , ) ( ,0) 0.
j i i j
f f f
В то же время из ортогональности векторов следует, что
2
( , ) ( , ) 0.
j i i i j i j j
ii
f f f f f
По предположению, последовательность
1
{}
n
ii
f
не содержит нуле-
вого вектора и, следовательно,
0
j
f
, откуда
0
j
. То же справедли-
во и для любого другого элемента из
1
{}
n
ii
f
, а значит, все
0
i
.
Если последовательность
{}
i
f
такова, что
0, ,
( , )
1, ,
i j ij
ij
ff
ij
(4.19)
то она назвается ортонормированной. В этом случае нормы всех век-
торов
i
f
равны единице. Будем обозначать такую систему векторов че-
рез
{}
i
e
.
Процедура, позволяющая строить из счетного множества линейно
независимых векторов ортонормированное множество, называется про-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- …
- следующая ›
- последняя »
