Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

114
2
22
22
2
2
( , ) ( , )
2
( , )
( , )
f g f f g f
fg
f g g
f g g

,
или
( , )f g f g
. (4.18)
Неравенство (4.18) называется неравенством Коши-Буняковского.
С его помощью получаем
2 2 2
2
2 ( , ) ( ) ,f g f f g g f g
или
.f g f g
Таким образом, всякое предгильбертово пространство можно сде-
лать нормированным, если норму определить равенством (4.16). Если
предгильбертово пространство оказывается полным по норме (4.16), то
оно называется гильбертовым (такие пространства будем обозначать
буквой H). Другими словами, гильбертовым называется банахово про-
странство, в котором норма определена через скалярное произведение.
Для этого, конечно, сначала нужно попытаться определить скалярное
произведение. Не всякое банахово пространство можно сделать гиль-
бертовым. Имеется, однако, важный результат: если в банаховом про-
странстве для любых векторов
,fg
, выполняется правило параллело-
грамма
2 2 2 2
2( ),f g f g f g
то в нем можно ввести скалярное произведение (т. е. превратить про-
странство в гильбертово), определив его формулой
22
1
( , ) ( )
4
f g f g f g
.
4.8. Ортогональность и ряд Фурье
Из неравенства Коши-Буняковского (4.18) следует, что функция
не превосходит по модулю единицы. Это обстоятельство поз-
воляет отождествить ее с косинусом угла
между векторами
f
и
g
, а
скалярное произведение записать в виде:

Страницы