Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

113
2. Пусть
0
([0,1])VC
– множество непрерывных функций,
определенных на [0,1]. Скалярное произведение в этом случае можно
определить так:
1
0
( , ) ( ) ( ) .f g f x g x dx
Определив скалярное произведение (и получив тем самым пред-
гильбертово пространство), мы можем естественным образом ввести
норму
( , ).f f f
(4.16)
То, что это норма, нетрудно показать. Первые три свойства, оче-
видно, удовлетворяются, так что остается проверить неравенство тре-
угольника. Для наших целей его удобно записать в виде:
2
2
()f g f g
.
Для любых
f
и
g
из рассматриваемого пространства имеем:
2 2 2
2 2 2 2
( , ) ( , ) ( , )
2( , ) 2 ( , ) .
f g f g f g f f g g f g
f f g g f f g g
Если удастся показать, что
, то тогда окажется
справедливым и неравенство треугольника. Это соотношение действи-
тельно выполняется. Рассмотрим норму вектора
fg
, где
– неко-
торое число. Очевидно, что
2 2 2
22
2
0 2( , )
2 ( , ) .
f g f f g g
f f g g

Откуда
2 2.
2
2 ( , )f g f g

. (4.17)
Поскольку
– произвольное число, положим
( , )
( , )
f g f
f g g

и, подставляя в (4.17), получим

Страницы