Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

111
, [ 1,0],
()
0, [0,1].
xx
gx
x
Функции
n
g
принадлежат, разумеется, и пространству V, где также
образуют последовательность Коши.
Если в нормированном векторном пространстве всякая последова-
тельность Коши сходится по норме (т. е. предел является элементом то-
го же пространства), то оно называется полным нормированным век-
торным пространством, или банаховым пространством (эти про-
странства мы будем обозначать буквой B). Можно говорить и о полноте
некоторого подмножества S нормированного векторного пространства
V. Например, если
1
V
, то всякий отрезок
[ , ]S a b
полон, так как
любая последовательность Коши его точек сходится к некоторой точке
S. Напротив, интервал
( , )P a b
не является полным, поскольку суще-
ствуют последовательности, стремящиеся, скажем, к a (например,
1
a
n



), а точка a не принадлежит P. Множество, которое содержит
все свои предельные точки, называется замкнутым. Замкнутыми будут
и шар вместе с поверхностью, и круг с границей, и т.п. Верно следую-
щее
Утверждение. Подмножество S банахова пространства B полно
тогда, когда оно замкнуто в B.
Пусть S – некоторое подмножество V. Если оно не замкнуто, т. е. не
содержит все свои предельные точки, то можно определить новое под-
множество
SV
, которое строится добавлением к
всех его предель-
ных точек и называется замыканием
. Таким образом, если S замкну-
то, то
SS
. Термин полнота, как мы видим, вполне нагляден: множе-
ство полно тогда, когда в нем хватает точек для того, чтобы всякая по-
следовательность Коши сходилась. Если векторное пространство, наде-
ленное одной нормой полно, а наделенное другой – нет, то естественно
задаться вопросом, какие же нормы не приводят к нарушению полноты
векторного пространства?
Ответ известен – это так называемые эквивалентные нормы. Две
нормы
a
и
b
на векторном пространстве V называются эквива-
лентными, если найдутся числа
1
0c
и
2
0c
, такие, что для любого
fV
12
a b a
c f f c f
. (4.15)

Страницы