Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

112
Конечно, с равным успехом можно ограничить и норму
a
f
:
21
11
b a b
f f f
cc

или, в других обозначениях:
12
b a b
k f f k f
,
12
, 0.k k const
Если нормы
a
и
b
эквивалентны, то из сходимости по нор-
ме
a
следует сходимость по норме
b
, и наоборот. Действитель-
но, пусть
0
n
a
ff
при
n 
. Тогда из (4.15) следует, что числовая
последовательность
мажорируется последовательностью,
стремящейся к нулю, и, следовательно, также сходится к нулю.
4.7. Гильбертово пространство
Одним из способов введения нормы в банаховом пространстве яв-
ляется задание в нем скалярного (или внутреннего) произведения. Ска-
лярное произведение – это числовая функция двух аргументов
( , )
. Лю-
бой паре векторов оно ставит в соответствие число. При этом скалярное
произведение должно удовлетворять следующим условиям. Пусть V –
векторное пространство,
,,f g h V
и
1
, тогда:
1.
( , ) 0, ( , )=0 0f f f f f
,
2.
( , ) ( , ) ( , )f g h f g f h
– ассоциативность,
3.
( , ) ( , )f g g f
– симметрия,
4.
( , ) ( , )f g f g

– однородность.
Векторное пространство V с введенным в нем скалярным произве-
дением называется предгильбертовым, или евклидовым.
Примеры
1. В
n
, элементами которого являются упорядоченные совокуп-
ности чисел
11
( ,..., ), ( ,..., )
nn
f f f g g g
, скалярное произведение
определяется формулой
1 1 2 2
( , ) ... .
nn
f g f g f g f g
Все четыре аксиомы скалярного произведения легко проверяются.

Страницы