Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

116
цессом ортогонализации Грама-Шмидта и заключается в следую-
щем. Пусть в гильбертовом пространстве H задана последовательность
линейно независимых векторов
1
{}
n
ii
h
. Поскольку нормы ортонормиро-
ванных векторов равны единице, то для того, чтобы построить первый
вектор
1
e
ортонормированной последовательности
1
{}
n
ii
e
, достаточно
положить его равным
1
1
h
e
h
.
Следующий вектор
2
e
должен быть ортогональным
1
e
. Попробуем
из элементов
1
e
и
2
h
построить такую линейную комбинацию
2
g
, чтобы
она была ортогональна
1
e
. Пусть
, где
21
– число, тогда
2
1 2 1 2 21 1 1 2 21 1 1 2 21
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0.e g e h e e h e e h
Откуда
21 1 2
( , )eh
или
2 2 2 1 1
( , )g h h e e
, и вектор
2
e
выбираем
равным
2
2
2
g
e
g
. Далее аналогично строим вектор
3
3
3
g
e
g
, где
3 3 32 2 31 1
g h e e

, а коэффициенты
31
и
32
находятся из условия
ортогональности
3
g
векторам
2
e
и
1
e
, т. е.
3 1 3 1 32 2 1 31 1 1 3 1 31
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,g e h e e e e e h e
3 2 3 2 32 2 2 31 1 2 3 2 32
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,g e h e e e e e h e
или
31 3 1 32 3 2
( , ), ( , )h e h e


и т.д. Все элементы
{}
i
e
ортонормирован-
ны и, следовательно, линейно независимы.
Обладая ортонормированной последовательностью
1
{}
ii
e
, мы мо-
жем формально записать любой вектор
f
из гильбертова пространства
H в виде ряда по
i
e
:
1
,
i
i
i
f f e
(4.20)
где
i
f
– некоторые числа. Коэффициенты
i
f
легко найти, пользуясь
тем, что
{}
i
e
– ортонормированная последовательность. Умножим ска-
лярно обе части равенства (4.20) на какой-либо вектор
j
e
( , ) , ( , )
ii
j i j i j
f e f e e f e e





и учтем (4.19). Получим, что число
j
f
равно проекции
f
на единичный
вектор
j
e
:

Страницы