Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

127
тельность стремится к нулю. Последовательность же
L cos( )
nn
f f nx

не сходится, т. е. непрерывность оператора дифференцирования в точке
1
sin( )nx
n
нарушается.
4. Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение
0 1 2
( ) ( ) ( ) ( ),f x f x f x g x
где
1
1 2 3
[ , ], , ,x a b
 

. Пусть
0
([ , ])g C a b
, тогда
f
должна при-
надлежать множеству функций, у которых существует вторая производ-
ная, т. е.
2
([ , ])C a b
. Теперь мы можем рассмотреть линейный дифферен-
циальный оператор
, где
0 1 2
Lf f f f
.
Само уравнение при этом принимает»стандартный" вид
Lfg
.
5. Рассмотрим, наконец, два специальных оператора.
Пусть
fV
, V – векторное пространство. Оператор I, такой, что
Iff
,
fV
, называется единичным (тождественным) оператором
(
I:VV
,
ff
). Пусть W – еще одно векторное пространство (воз-
можно, совпадающее с V). Оператор O, отображающий произвольный
элемент
fV
в нулевой элемент пространства W, т. е.
O0f
, называ-
ется нулевым оператором (
O: , 0V W f
).
Пусть задано операторное уравнение
L , (L) , (L) ,f g f D V g R W
где V и W – векторные пространства. Формально проблема решения это-
го уравнения сводится к отысканию (если это возможно) оператора
-1
L
,
такого, что
11
L (L ) I или L L If f f

.
Если таковой оператор существует, то он называется обратным.
Какими же свойствами должен обладать оператор L, чтобы было воз-
можно построение обратного оператора
1
L
? Рассмотрим следующие
варианты.
1. Оператор L инъективен, или взаимно однозначен. В этом слу-
чае
1
L
существует, является линейным оператором из
(L)R
в
(L)D
.
Уравнение
Lfg
имеет решение для
(L)gR
и не имеет решения для
(L)gR
.
2. Оператор L биективен. Здесь очевидно, что
1
L
существует для
любого
gW
и для любого
gW
существует единственное решение.

Страницы