Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

33
3.1.1. Сходимость, аппроксимация и устойчивость
разностных схем
Пусть u есть решение дифференциального уравнения
( ) ,L u f
(3.2)
заданного в области D. Рассмотрим некоторое множество D
h
,
h
M
со-
стоящее из изолированных точек
h
M
, принадлежащих замкнутой обла-
сти
DD
. Число точек в D
h
будем характеризовать величиной h;
чем меньше h, тем большим будет число точек в D
h
. Множество D
h
называется сеткой, а точки
h
M
D
h
− узлами сетки. Функция, опреде-
ленная в узлах, называется сеточной функцией.
Обозначим через U пространство непрерывных в D функций
( , )u x y
. Через U
h
обозначим пространство, образованное совокупностью
сеточных функций
( , )
h
u x y
, определенных на D
h
. В методе сеток осу-
ществляется замена пространства U на пространство U
h
.
Пусть
( , )u x y
− точное решение уравнения (3.2) и
( , )u x y
принад-
лежит U. Поставим задачу отыскания значений
( , )
h
u x y
. Эти значения в
совокупности образуют таблицу, в которой число значений равно числу
точек в D
h
. Точно поставленную задачу удается решить редко. Как пра-
вило, можно вычислить некоторые сеточные значения
, относитель-
но которых можно думать, что
()
( , ).
h
h
u u x y
Величины
называются приближенными сеточными значения-
ми решения
( , )u x y
. Для их вычисления строят систему численных
уравнений, которую мы будем записывать в виде
()
( ) ,
hh
h
L u f
(3.3)
где L
h
есть разностный оператор, соответствующий оператору L,
()h
h
fF
. Если
( , ) ,f x y F
то
h
F
образуется по F аналогично тому, как
U
h
образовывалось по U. Формулу (3) будем называть разностной
схемой.
Пусть в линейных пространствах U
h
и F
h
введены соответственно
нормы
и
UF
hh

, которые являются сеточными аналогами норм
и
UF

в исходных пространствах.
Будем говорить, что разностная схема (3.3) является сходящейся,
если при
0h
выполняется условие
()
( , ) 0
h
h
h
U
u x y u
.

Страницы