Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

34
Если выполняется условие
()
( , )
hs
h
U
h
u x y u ch
,
где c − постоянная, не зависящая от h и s>0, то говорят, что имеет место
сходимость со скоростью порядка s относительно шага h.
Говорят, что разностная схема (3.3) аппроксимирует задачу (3.2) на
решении
( , )u x y
, если
( ) ( ) ( )
( ( , )) и 0 при 0.
h h h
hh
F
h
L u x y f f f h

Величина
()h
f
называется погрешностью аппроксимации или не-
вязкой разностной схемы. Если
()
h
h
F
f Mh
, где M − константа, не
зависящая от h и
0
, то говорят, что разностная схема (3.3) аппрок-
симирует задачу (3.2) на решении
( , )u x y
с погрешностью порядка
относительно шага h.
Разностная схема (3.3) называется устойчивой, если существует та-
кое
0
0h
, что для всех
0
hh
и любых
()h
h
fF
выполняются условия:
1) разностная схема (3.3) имеет единственное решение;
2)
( ) ( )
,
hh
hh
UF
u M f
где M − постоянная, не зависящая от
h
и
()h
f
.
Иначе говоря, разностная схема является устойчивой, если ее ре-
шение непрерывно зависит от входных данных. Устойчивость характе-
ризует чувствительность схемы к различного рода погрешностям, она
является внутренним свойством разностной задачи, и это свойство не
связывается непосредственно с исходной дифференциальной задачей, в
отличие от сходимости и аппроксимации. Между понятиями сходимо-
сти, аппроксимации и устойчивости существует связь. Она состоит в
том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, что от-
ражается в следующей теореме.
Теорема
Пусть разностная схема
( ) ( )
()
hh
h
L u f
аппроксимирует задачу
()L u f
на решении
( , )u x y
с порядком s относительно h и устойчива.
Тогда эта схема будет сходиться, и порядок ее сходимости будет сов-
падать с порядком аппроксимации, т. е. будет справедлива оценка
()
( , )
hs
h
U
h
u x y u kh
(3.4)
где k − постоянная, не зависящая от h.

Страницы