Математические методы проектирования. Рейзлин В.И - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4
Математические модели сплошной среды приводят к уравнениям в
частных производных, которым удовлетворяют упомянутые средние
величины. Например, изменение температуры в неподвижном теле опи-
сывается уравнением теплопроводности
( , , ) ( , , ) ( , , )
u
c u r t div k u r t grad u q u r t
t
, (1.1)
где и – температура, с – теплоемкость, k – коэффициент теплопроводно-
сти и q – плотность источников тепла.
К уравнениям в частных производных приводят задачи газодина-
мики, теплопроводности, переноса излучения, распространения нейтро-
нов, теории упругости, электромагнитных полей, процессов переноса в
газах, квантовой механики и многие другие.
Независимыми переменными в физических задачах обычно явля-
ются время t и координаты r; бывают и другие переменные, например,
скорости частиц
v
в задачах переноса. Решение требуется найти в неко-
торой области изменения независимых переменных
( , , ,...)G t r v
. Полная
математическая постановка задачи содержит дифференциальное урав-
нение, а также дополнительные условия, позволяющие выделить един-
ственное решение среди семейства решений дифференциального урав-
нения. Дополнительные условия обычно задаются на границе
области G.
Если одной из переменных является время t, то чаще всего рас-
сматривают области вида
0
( , (G t r g r t T,...) ,...) [ , ]
, (1.2)
т. е. решение ищут в некоторой пространственной области
( ,...)gr
на
отрезке времени
0
t t T
. В этом случае дополнительные условия, за-
данные при t=t
0
, называют начальными, а дополнительные условия, за-
данные на границе Г(r) области g(r), – граничными или краевыми.
Задачу, у которой имеются только начальные условия, называют
задачей Коши. Например, для уравнения теплопроводности (1.1) в не-
ограниченном пространстве можно поставить задачу с начальными
условиями
0
( , ) ( )u r t r
. (1.3)
Если
− кусочно-непрерывная ограниченная функция, то ре-
шение задачи (1.1), (1.3) единственно в классе ограниченных функций
(при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения).
Задачу с начальными и граничными условиями называют смешан-
ной краевой задачей или нестационарной краевой задачей. Для урав-

Страницы