Самостоятельная работа студентов по физике. Ригер Е.Р - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

26
Составим для каждой i – той пары измеренных значений x
i
и y
i
разность ∆
i
:
∆
i
= а + вх
i
- y
i
. Если бы удалось определить «истинные» значения
параметров а и в и если бы результаты измерений величин x
i
и y
i
были бы
абсолютно точными, то разности ∆
i
были бы равны 0. Погрешность
определения параметров а и в и ошибки прямых измерений приводят к тому,
что ∆
i
≠ 0, причем случайный характер этой ошибки проявляется в том, что
алгебраическая сумм разностей стремится к нулю при увеличении числа
измерений n:
0
1
→∆
∑
=
i
n
i
при n → ∞. Однако, сумм квадратов разностей
()
0
1
2
≥∆=
∑
=
n
i
i
F
и отличается от нуля тем больше, чем сильнее расчетные значения
функции y
i
*
= a +вx
i
отличаются от экспериментально найденных y
i
. Различие
значений y
i
*
и у
i
определяется выбранными значениями параметров а и в. В
математической статистике доказывается, что условие минимума квадратов
разностей F отвечает наиболее близким и «истинным» значениям параметров а
и в. Следовательно, надо подобрать такие значения а и в, чтобы значение F
было минимальным:
()
min)(
2
11
2
=−+=∆=
∑∑
==
n
i
ii
n
i
i
yвхаF
(1)
При заданном наборе экспериментальных точек x
i
, y
i
(i = 1, 2, …, n)
величина F зависит от аргументов
а и в. Необходимое условие минимума
F
состоит в равенстве нулю частных производных от функции F(
а,в)
по
аргументам
а
и
в:
.0,0
=
∂
∂
=
∂
∂
в
F
a
F
(2)
Выполнив дифференцирование по переменным
а и в
и произведя простые
преобразования, получим систему двух линейных относительно неизвестных
а
и в уравнений:
∑∑
==
=⋅+⋅
n
i
i
n
i
i
yвxan
11
)(
.)()(
111
2
∑∑∑
===
=⋅+⋅
n
i
n
i
n
i
iiii
yxвxax
Решение этой системы смеет вид:

Страницы