Составители:
Рубрика:
169
Таким образом, при одновременном выполнении условий (32), (34)
преобразование имеет двойную собственную точку, двойную изотропную
прямую, проходящую через эту точку, и поточечно неподвижную
изотропную прямую, ортогональную указанной двойной точке.
3.Уравнение (9) имеет трехкратный корень
Тогда
0
33
2
12
2
11
==− aaa
и, следовательно, матрица (1) не определяет
преобразование копсевдоевклидовой плоскости.
Результаты проведенной классификации преобразований представлены в
таблицах 3, 4 (приложение 3). Конструктивное определение преобразований
каждого класса и их названия введем в §6.
4.3 Движения и псевдодвижения копсевдоевклидовой плоскости
Теоремы 1 – 4, доказанные в предыдущих параграфах, и проведенная
классификация определяют инвариантные элементы копсевдоевклидовых
преобразований.
Докажем теоремы, определяющие числовые характеристики
преобразований копсевдоевклидовой плоскости.
Теорема 5. Каждое преобразование H группы Q, заданное матрицей (1),
изменяет меру данного угла в k раз, где
2
12
2
11
2
33
aa
a
k
−
=
. (35)
Доказательство. Пусть (a
i
), (b
i
), где i = 1, 2, 3, – однородные координаты
прямых a' и b' соответственно. На прямой a' выберем две точки, например,
)::0(
231
aaF −
′
и
):0:(
132
aaF −
′
. Прообразы этих точек в преобразовании Н
группы Q имеют координаты:
))(::(
2
12
2
112321133112333113331231
aaaaaaaaaaaaaaaF −++−−
ε
;
))(::(
2
12
2
111321233111333123331132
aaaaaaaaaaaaaaaF −+−−
.
Следовательно, однородные координаты прообраза прямой a' в
преобразовании H имеют вид:
()
333323112121313122111
:: aaaaaaaaaaaaaaa
+
−
−
+
+
ε
ε
. (36)
Аналогично, однородные координаты прообраза прямой b' в
преобразовании Н имеют вид:
()
333323112121313122111
:: abababababababb
+
−
−
+
+
ε
ε
. (37)
Найдём по формуле (17) главы 2 меру угла a'b':
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- …
- следующая ›
- последняя »
