Составители:
Рубрика:
90
Таким образом,
()
2
12
2
2211
2211
21
4
cos
AAA
AA
kk
+−
+
±=
. (15)
Знак плюс (минус) в формуле (15) соответствует положительному
(отрицательному) значению координаты А
22
.
Левая часть равенства (15) может быть выражена через инвариант
квадрики – (k
1
k
2
l
1
l
2
), следовательно, и правая часть этого равенства является
инвариантом линии. Обозначим его
∇
.
Геометрический смысл инварианта
∇
определен:
∇
– есть косинус
расстояния между изотропными касательными к линии (1).
3. Уравнение (13) определяет изотропные касательные к линии (1).
Обозначим дискриминант уравнения (13) 4ϒ. Тогда ϒ=
2211
2
12
AAA −
. Число ϒ
позволит нам определить тип квадрики по ее тангенциальным координатам.
Выполняется равенство
ϒ=
2
2
2211
2
4
))(1(
∇
+∇− AA
, (16)
устанавливающее связь числа ϒ с инвариантом ∇.
Равенство (16) показывает, что знак числа ϒ зависит от модуля ∇,
следовательно, является инвариантом квадрики.
Если ϒ больше нуля (модуль ∇ при этом меньше единицы), то уравнение
(13) имеет два различных действительных корня, то есть квадрика (1) имеет
две действительные изотропные касательные, следовательно, является
когиперболой
.
Если ϒ меньше нуля (модуль ∇ больше единицы), то корни уравнения
(13) мнимо сопряженные. Следовательно, квадрика имеет мнимо
сопряженные изотропные касательные и является коэллипсом.
В случае, когда модуль ∇ бесконечно велик (А
11
= А
22
, А
12
= 0) квадрика
касается абсолютных прямых, то есть является коокружностью.
Выразив ϒ через однородные координаты квадрики, получим:
ϒ = – а
33
D, где D – определитель матрицы координат линии. Мы
рассматриваем овальные линии, для которых D ≠ 0. Поэтому условие ϒ = 0
равносильно условию (10).
Таким образом, при ϒ = 0 (модуль ∇ равен единице и выполняется
условие (10)), квадрика имеет слившиеся изотропные касательные и является
копараболой. Мы уже показали, что все копараболы коевклидово
эквивалентны, то есть представляют самостоятельный
класс овальных линий
коевклидовой плоскости.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
