Составители:
Рубрика:
91
Множество всех коэллипсов и множество всех когипербол разобьем на
классы таким образом, чтобы в один класс попали линии с равными
инвариантами ∇, а линии с различными инвариантами ∇ находились в
различных классах.
Справедливы следующие утверждения.
1. Любые две линии одного класса коевклидово эквивалентны, то есть
для каждой пары линий одного
класса существует преобразование группы G,
которое одну из линий переводит в другую.
2. Не существует преобразования группы G, которое линию одного
класса переводит в линию другого класса.
Итак, на коевклидовой плоскости существует три типа овальных линий и
бесконечное множество их классов, каждый из которых определен типом
линии и значением инварианта ∇.
5.3 Канонические уравнения овальных линий
1
. Как обычно, каноническим уравнением овальной линии будем
называть уравнение наиболее простого вида
∗
, определяющее линию в
некотором каноническом репере.
Канонический репер, в котором уравнение квадрики имеет канонический
вид, будем называть присоединенным репером квадрики.
Семейство всех канонических реперов коевклидовой плоскости зависит
от четырех параметров, следовательно, пристраивая к линии наиболее
удобным способом канонический репер, мы имеем право израсходовать не
более четырех параметров.
2. Пусть на коевклидовой плоскости задан некоторый коэллипс γ.
Построим присоединенный репер R коэллипса. В каждом каноническом
репере коевклидовой плоскости третья координатная вершина совпадает с
действительной абсолютной точкой, которая согласно определению
коэллипса является его внутренней точкой, поэтому через точку P=A
3
проходят две мнимо сопряженные касательные k
1
, k
2
коэллипса.
Существует единственная пара действительных изотропных прямых а, b,
гармонически разделяющих абсолютные прямые и пару касательных k
1
, k
2
.
∗∗
Затратим один параметр, совместив координатную прямую A
1
A
3
с прямой a.
После этого однозначно определена прямая A
2
A
3
=b. Точки пересечения
коэллипса с прямой а обозначим K
1
, K
2
. Точка, четвертая гармоническая к
тройке точек K
1
, K
2
, A
3
на прямой а, определена геометрически
∗
Очевидно, данное определение нельзя считать строгим математическим определением,
так как понятие «простой вид» субъективно. По возможности, мы будем стремиться к
тому, чтобы квадратичная форма, определяющая каноническое уравнение квадрики,
имела канонический вид [1, стр. 268].
∗∗
Доказательство этого факта проективной геометрии предлагаем читателю провести
самостоятельно.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- …
- следующая ›
- последняя »
