Составители:
Рубрика:
33
5.26* На коевклидовой плоскости задана копарабола γ.
Обозначим через F – точку пересечения фокальной оси и
директрисы копараболы, а через S – центр линии γ, собственный
для коевклидовой плоскости. Составьте уравнение семейства
всех когипербол, касающихся фокальной оси копараболы γ в
точке F , а полярной оси – в центре S копараболы γ. Докажите,
что все когиперболы семейства имеют один и тот же
действительный (мнимый) центр, определите положение
действительного (мнимого) центра по отношению к данной
копараболе. Выразите инвариант когипербол семейства
относительно коевклидовых преобразований через инвариант
копараболы γ относительно движений коевклидовой плоскости.
5.27* Параболы евклидовой плоскости обладают широко
используемым в практических целях оптическим свойством:
прямые, параллельные оси параболы, отражаясь от касательной к
параболе в ее произвольной точке, проходят через фокус
параболы. Найдите аналог оптического свойства параболы для
копарабол коевклидовой плоскости. Докажите утверждение.
5.28* Сформулируйте и докажите свойство коэллипсов
коевклидовой плоскости, являющееся аналогом оптического
свойства эллипсов плоскости евклидовой: прямые, проходящие
через один из фокусов эллипса, отражаясь от касательной к
эллипсу в произвольной его точке, проходят через второй фокус
эллипса.
5.29* Гиперболы евклидовой плоскости обладают
следующим свойством: отрезок касательной к гиперболе в
призвольной ее точке, заключенный между асимптотами
гиперболы, делится точкой касания пополам. Сформулируйте и
докажите аналогичное по принципу двойственности свойство
когипербол коевклидовой плоскости.
5.30* Подэрой плоской линии γ относительно точки А
называют множество всех точек плоскости, являющихся
основаниями перпендикуляров, проведенных через точку А ко
всевозможным касательным к линии γ. Найдите подэры
коэллипса, копараболы и когиперболы коевклидовой плоскости
относительно точки А. Рассмотрите случаи, соответствующие
различным положениям точки А относительно линии. Исследуйте
полученные кривые.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
