Составители:
2
0
11
( ) () , 1,2,3,...
2
k
T
jft
kkk
Aajb xtedtk
T
π
−
=−= =±±±
∫
.
Последний результат вытекает из формулы Эйлера:
cos sin
j
ej
θ
θ
θ
−
=− . (1.16)
Соотношение (1.14) задает функцию x(t) в полярных
координатах (а не в прямоугольных), и на каждой дискретной
частоте
ƒ
k
она имеет модуль X
k
и аргумент θ
k
. Если функция x(t)
действительная, то её ряд Фурье можно представить в
комплексной форме. В частности для коэффициентов
A
k
имеем:
1, 2, ...
k
j
kk
AAe k
θ
−
==±±, (1.17)
где
θ
k
=arctg(b
k
/a
k
).
Если
x(t) – действительная функция t, то выполняются
равенства:
kk
A
A
−
= ,
kk
θ
θ
−
=
− ,
*
kk
jj
kk k k
A
Ae Ae A
θθ
−
−
−−
=
==, (1.18)
где * означает комплексное сопряжение.
Преобразование Фурье. Если реализация x(t) имеет
непериодический характер (переходный процесс, стационарный
случайный процесс), то рассмотренное выше представление в
виде ряда Фурье можно обобщить, переходя к пределу
Т→ ∞, что
приводит к интегралу Фурье :
2
() () ,
jft
Xf xte dt f
π
∞
−
−∞
=−∞<<∞
∫
. (1.19)
Этот интеграл существует, если выполняется условие:
()xt dt
∞
−∞
<∞
∫
. (1.20)
Функция
X(ƒ), задаваемая выражением (1.19) называется
прямым преобразованием Фурье (или спектром) функции
x(t). В
свою очередь, функция
x(t) получается путем обратного
преобразования Фурье функции X(ƒ) :
2
() ( ) ,
jft
xt X f e df t
π
∞
−∞
=−∞<<∞
∫
. (1.21)
Выражения (1.19) и (1.21) называются парой преобразований
Фурье. Следует отметить, что
X(f) в общем случае является
комплекснозначной функцией частоты, определенной на всей
действительной оси, даже в том случае, когда
x(t) –
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- …
- следующая ›
- последняя »
