Теория измерений. Основы теории точности средств измерений. Романов В.Н. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

2. Корреляционные функции и спектральные плотности
Пусть на входе измерительной системы действует
случайный процесс {
x(t)}, а на входе получается процесс {y(t)},
которые являются стационарными и представимы своими
реализациями
х(t) и у(t). Корреляцию между ними можно
определить, если ввести дополнительную переменную
τ
–
запаздывание
у(t) относительно х(t). По аналогии со статическим
случаем определим корреляционную функцию
х(t) и у(t) для
произвольного сдвига времени
τ
выражением:
0
() {() ()}{( ) ()}
1
lim {() ()}{ ( ) ()} ( )
xy x y
T
x
yxyxy
T
CExttyt t
xt t yt t dt R
T
τμτμ
μ
τμ τμμ
→∞
⎡⎤
⎣⎦
=− +−=
=−+−=−
∫
, (2.1)
где R
xy
(
τ
) – взаимная ковариационная функция х(t) и у(t), а
μ
x
,
μ
y
–
соответствующие средние.
()
xy
R
τ
0
1
lim ( ) ( )
T
T
x
tyt dt
T
τ
→∞
=+
∫
.
(2.2)
В частности, если процессы на входе и выходе одинаковы, т.е.
{y(t)}={x(t)}, то выражение (2.1) принимает вид:
2
0
1
( ) lim {() ()}{ ( ) ()} ( )
T
x
xxxxxx
T
CxttxttdtR
T
τ
μτμ τμ
→∞
=−+−=−
∫
. (2.3)
Тогда
()
xx
R
0
1
lim ( ) ( )
T
T
x
txt dt
T
τ
→∞
=+
∫
(2.4)
называется ковариационной функцией х(t).
Иногда ковариационной функцией называют величину C
ху
,
определенную по (2.1). Поскольку R
xy
(
τ
)=С
xy
(
τ
)+
μ
x
μ
y
, то
R
xy
(
τ
)=С
xy
(
τ
), если средние обоих процессов равны нулю, т.е.
процессы центрированы. По определению ковариационная
функция является четной, т.е. R
xх
(–
τ
)=R
xх
(
τ
). Взаимная
ковариационная функция не обладает этим свойством, но
удовлетворяет соотношению: R
xy
(–
τ
)=R
yх
(
τ
).
Из соотношений (2.3), (2.4) следует, что значение
ковариационной функции в нуле равно квадрату процесса:

Страницы