Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 35 стр.

      Знание главных кривизн и главных направлений позволяет найти
нормальную кривизну в произвольном направлении по формуле
                              k n = λ1 cos 2 ϕ + λ2 sin 2 ϕ ,
где ϕ – угол между данным направлением и направлением первого
базисного вектора (формула Эйлера).
      Из формулы Эйлера следует экстремальное свойство главных
направлении: это те направления, где нормальная кривизна принимает
наибольшее или наименьшее значение. Это свойство помогает находить
главные направления: вектор с координатами du, dv задаёт главное
направление, если выполнено условие:
       ( E du + F dv)( M du + N dv) − ( L du + M dv)( M du + N dv) = 0 .
     Главные кривизны ищутся из условия                         det( II − λI ) = 0 , т.е. из

уравнения      ( L − λE )( N − λG ) − ( M − λF ) 2 = 0 .


     3.10. Внутренняя геометрия поверхности

     Утверждение 3.1.         Две поверхности являются изгибаемыми одна в
другую, если в некоторых параметризациях их первые квадратичные формы
совпадают.
            Совокупность тех свойств поверхности, которые не меняются
при ее изгибании, называется внутренней геометрией поверхности.                        Две
поверхности изгибаемы друг в друга в том и только том случае, если на них
можно ввести одну и ту же первую квадратичную форму. Две различные
поверхности могут иметь одну и ту же внутреннюю геометрию. Например,
плоскость и параболический цилиндр.
     Следовательно, к внутренней геометрии поверхности относятся те, и
только те ее свойства, которые могут быть выражены через первую
квадратичную     форму.      Т.е.,   например,        длины      линий,    лежащих       на
поверхности; полная кривизна K поверхности. Далее, поскольку угол между
линиями на поверхности и площадь поверхности выражаются через

                                                                                         35