ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
34
=
2
22
22
2
'''2'
ds
dvNdvduMduL
vNvuMLu
++
=++ .
Следовательно, учитывая, что
222
2 GdvdvduFduEds +
+
=
, имеем
I
II
dvGdvduFduE
dvNdvduMduL
k =
++
++
=
22
22
2
2
cos
θ
.
Правая часть этого равенства зависит только от направления кривой в
точке M(u, v). Таким образом,
constcos
=
=
n
kk
θ
в точке M(u, v) для всех
кривых
γ
, проходящих через эту точку и имеющую в ней одну и ту же
касательную плоскость.
Величину
n
k
называют нормальной кривизной линии
γ
в точке M. Если
γ
– нормальное сечение поверхности, т.е. сечение поверхности плоскостью,
проходящей через нормаль к поверхности в точке M, то тогда справедлива
следующая теорема.
Теорема 1.1. Нормальная кривизна любой линии поверхности,
проходящей через точку M, с точностью до знака равна кривизне
нормального сечения, имеющего с данной линии общую касательную (знак
зависит от направления векторов
n и
v
).
3.9. Главные направления и кривизны поверхности
Исследуем теперь вопрос, как меняется нормальная кривизна в
зависимости от направления её вектора скорости. Как и для всякой
квадратичной формы, для второй квадратичной формы найдётся
ортонормированный базис в касательной плоскости, в котором форма имеет
диагональный вид
2
2
2
1
),( dvdudvduII
λ
λ
+
=
.
Определение 3.5. Направления, задаваемые векторами этого базиса,
называются главными направлениями, а числа
21
,
λ
λ
– главными кривизнами.
Определение 3.6. Произведение
21
λ
λ
=
K называется гауссовой или
полной кривизной поверхности в данной точке, полусумма 2/)(
21
λ
λ
+
–
средней кривизной.
2 2 L du 2 + 2 M du dv + N dv 2
= Lu ' +2 M u ' v'+ N v' = .
ds 2
Следовательно, учитывая, что ds 2 = E du 2 + 2 F du dv + Gdv 2 , имеем
L du 2 + 2 M du dv + N dv 2 II
k cosθ = = .
E du 2 + 2 F du dv + G dv 2 I
Правая часть этого равенства зависит только от направления кривой в
точке M(u, v). Таким образом, k cosθ = k n = const в точке M(u, v) для всех
кривых γ , проходящих через эту точку и имеющую в ней одну и ту же
касательную плоскость.
Величину kn называют нормальной кривизной линии γ в точке M. Если
γ – нормальное сечение поверхности, т.е. сечение поверхности плоскостью,
проходящей через нормаль к поверхности в точке M, то тогда справедлива
следующая теорема.
Теорема 1.1. Нормальная кривизна любой линии поверхности,
проходящей через точку M, с точностью до знака равна кривизне
нормального сечения, имеющего с данной линии общую касательную (знак
зависит от направления векторов n и v ).
3.9. Главные направления и кривизны поверхности
Исследуем теперь вопрос, как меняется нормальная кривизна в
зависимости от направления её вектора скорости. Как и для всякой
квадратичной формы, для второй квадратичной формы найдётся
ортонормированный базис в касательной плоскости, в котором форма имеет
диагональный вид II (du , dv) = λ1 du 2 + λ2 dv 2 .
Определение 3.5. Направления, задаваемые векторами этого базиса,
называются главными направлениями, а числа λ1 , λ2 – главными кривизнами.
Определение 3.6. Произведение K = λ1λ2 называется гауссовой или
полной кривизной поверхности в данной точке, полусумма (λ1 + λ2 ) / 2 –
средней кривизной.
34
