Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

32
Пусть f – регулярная поверхность, заданная уравнением ),( vurr = , а
γ
– линия на этой поверхности. Имеем d
v
r
du
r
r
d
vu
+
=
. Введём вектор
нормали
[
]
vu
rrN ,= , тогда единичный вектор нормали в точке M к
поверхности
f имеет вид
[
]
[]
vu
vu
rr
rr
N
N
n
,
,
== . Найдём квадратичную форму
22
)( dvnrdvdunrnrdunrndrd
v
v
u
v
v
u
u
u
⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ . Так как n
r
d
⊥
, то
скалярное произведение
0
=
⋅
n
r
d и, следовательно,
0)(
2
=⋅+⋅=⋅ ndrdnrdnrdd .
Отсюда
.2
)2(
22
222
dvrndvdurndurn
dvrdvdurdurnnrd
vvuvuu
vvuvuu
⋅+⋅+⋅+
=++⋅=⋅
Здесь учтено, что
0=⋅
u
rn , 0=⋅
v
rn , т.е. отсутствуют слагаемые с этими
произведениями.
Введём обозначения
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⋅
=⋅
=⋅
.
;
;
Nrn
Mrn
Lrn
vv
uv
uu
или в координатах:
2
FEG
zyx
zyx
zyx
L
uuuuuu
vvv
uuu
−
=
и аналогично,
[]
2
,
FEG
zyx
zyx
zyx
rr
rrr
M
uvuvuv
vvv
uuu
vu
uvvu
−
== ,
[]
⇒=
vu
vvvu
rr
rrr
N
,
2
FEG
zyx
zyx
zyx
vvvvvv
vvv
uuu
−
.
Замечание 3.3. Здесь ud
2
– дифференциал второго порядка и
dudududu ==
22
)( – квадрат дифференциала.
(3.11) 




Страницы