Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 32 стр.

       Пусть f – регулярная поверхность, заданная уравнением r = r (u , v) , а

γ – линия на этой поверхности. Имеем d r = r u du + r v dv . Введём вектор
                       [         ]
нормали N = r u , r v , тогда единичный вектор нормали в точке M к

поверхности f имеет вид n =
                                                   N
                                                         =
                                                             [r u , r v ] .   Найдём квадратичную форму
                                                   N         [r u , r v ]
d r ⋅ d n = r u ⋅ n u du 2 + (r u ⋅ n v + r v ⋅ n u )du dv + r v ⋅ n v dv 2 . Так как d r ⊥ n , то

скалярное                  произведение                          dr ⋅ n = 0                и,             следовательно,
d ( d r ⋅ n) = d 2 r ⋅ n + d r ⋅ d n = 0 .
Отсюда
                            d 2 r ⋅ n = n ⋅ (r uu du 2 + 2r uv du dv + r vv dv 2 ) =
                            + n ⋅ r uu du 2 + 2n ⋅ r uv du dv + n ⋅ r vv dv 2 .                                          (3.11)

Здесь учтено, что n ⋅ r u = 0 , n ⋅ rv = 0 , т.е. отсутствуют слагаемые с этими
произведениями.
                                                   ⎧n ⋅ r uu = L;
                                                   ⎪
             Введём обозначения                    ⎨n ⋅ r uv = M ;
                                                   ⎪
                                                   ⎩n ⋅ r vv = N .
                                           xu      yu        zu
                                           xv      yv         zv
                                           xuu     yuu       z uu
или в координатах: L =                                                 и аналогично,
                                                             2
                                                 EG − F
                           xu        yu      zu                                                 xu      yu    zu
                           xv        yv      zv                                                 xv      yv    zv
       r u r v r uv        xuv       yuv     zuv                       r u r v r vv             xvv     yvv   z vv
M=                     =                            ,             N=                   ⇒                             .
        [r u , r v ]             EG − F      2                          [r u , r v ]                  EG − F 2


        Замечание 3.3. Здесь d 2 u                           – дифференциал второго порядка и

du 2 = (du ) 2 = du du – квадрат дифференциала.


                                                                                                                             32