Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 30 стр.

                t2                    2                                             2
                                ⎛ du ⎞            du dv            ⎛ dv ⎞
           l=     ∫    E (u , v)⎜ ⎟ + 2 F (u , v)
                                ⎝ dt ⎠            dt dt
                                                        + G (u , v)⎜ ⎟ dt .
                                                                   ⎝ dt ⎠
                  t1

        Зная первую квадратичную форму на поверхности, можно находить и
углы между кривыми.
        Определение 3.4. Углом между кривыми γ 1 и γ 2 называется угол
между касательными к этим линиям в их общей точке M.
        Пусть d r 1 и d r 2 – векторы касательных к линиям γ 1 и γ 2 в точке M.

                        d r1d r2
Тогда     cos ϕ =                   или, в координатах, учитывая, что x = ( x, x) для
                        d r1 d r2

произвольного вектора x , имеем
           (r u ) 2 (du )1 (du ) 2 + r u v v ((du )1 (dv) 2 + (dv)1 (du ) 2 ) + (r v ) 2 (dv)1 (dv) 2
cos ϕ =                                                                                                     или
           (r u ) du + 2r u r v du dv + (rv ) dv
                   2     2                         2      2
                                                              ( r u ) du + 2r u r v d u d v + ( r v ) d v
                                                                   2    2                           2




                               E du du + F (du d v + dv d u ) + G dv d v
        cos ϕ =                                                                             .               (3.9)
                       E du 2 + 2 F du dv + G dv 2 E du 2 + 2 F du d v + G d v 2


        3.6. Площадь поверхности

        Через первую квадратичную форму можно определить площади любых
участков поверхности. Пусть f – гладкая поверхность, заданная уравнениями
                                x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v)
и D – область на ней, ограниченная конечным числом кусочно-гладких
кривых.
     Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле:

                                     σ=   ∫∫    EG − F 2 du dv .
                                          D

Заметим,          что         если        r = r (u , v)       –        векторная          функция,           т.е.

r = x(u , v)i + y (u , v) j + z (u , v)k , то в любой точке M(u, v) поверхности имеем:

                                                          [
                                          EG − F 2 = r u , r v .   ]
        Следовательно, площадь поверхности можно вычислить по формуле:
                                                                                                               30