Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 29 стр.

      Основная идея всех излагаемых в этом параграфе рассуждений состоит
в замене бесконечно малого элемента гладкой поверхности соответ-
ствующим элементом касательной плоскости. Поэтому полезно начать с
некоторых формул и понятий, относящихся к вычислению длин, углов и
площадей на плоскости.
      Перейдем к изучению поверхности в бесконечно малом, вблизи какой-
нибудь её точки M(x, y).
      Вычислим          дифференциал            вектора          r   вдоль   кривой.   Тогда
d r = ru du + rv dv , где        du = u ' (t )dt , dv = v' (t )dt . Найдём скалярные квадраты

левой и правой частей этого равенства: (d r ) 2 = (ru du + rv dv) 2 или

       (d r ) 2 = (ru ) 2 du 2 + 2ru rv du dv + (rv ) 2 dv 2 .                         (3.7)
Введём для этих скалярных произведений сокращённые обозначения:
      ⎧r ⋅ r = E ;
      ⎪u u
      ⎪
      ⎨ru ⋅rv = F ; или в координатах
      ⎪
      ⎪⎩rv ⋅rv =G;

      ⎧ E = ( x ) 2 + ( y ) 2 + ( z ); 2
      ⎪        u         u         u
      ⎪
      ⎨ F = xu xv + yu yv + zu zv ;
      ⎪           2        2         2
      ⎪⎩G = ( xv ) + ( yv ) + ( zv ) .

Тогда формула (3.7) перепишется в виде:
                      (d r ) 2 = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 ≡ I .                         (3.8)

Выражение (3.8), называется первой квадратичной формой на поверхности и
играет важную роль в теории поверхностей.
    Первая квадратичная форма служит прежде всего для измерения
бесконечно малых дуг на поверхности. Далее посредством интегрирования,
нетрудно перейти к точному вычислению длин на поверхности.
     Пусть задана часть кривой на поверхности: u=u(t), v=v(t), где t1 ≤ t ≤ t 2 .
Тогда длина части кривой на поверхности выражается формулой:

                                                                                          29