Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

28
Подставив эти выражения в уравнение (3.4), получаем уравнение
плоскости, касательной к поверхности
(
)
0
=
x, y, zF :
0))(,,('))(,,('))(,,('
000000000000
=−
+
−
+
−
zzzyxFyyzyxFxxzyxF
zyx
. (3.5)
Здесь значения
'
x
F ,
'
y
F
и
'
z
F
берутся в точке касания
),,(
000
zyx
.
Нормаль к поверхности. Пусть F (x, y, z) = 0 – неявное уравнение
поверхности.
Нормаль к поверхности (перпендикулярная прямая к
касательной плоскости в точке касания) имеет вид:
),,('),,('),,('
000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
−
=
−
=
−
.
Вычислим направляющие косинусы вектора
][
vu
rrN ,= ,
нормального к поверхности, заданной уравнением
v) (u, r r = . Так как
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
u
z
u
y
u
x
r
u
,, и
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
v
z
v
y
v
x
r
v
,,,
то вектор
],[
vu
rr имеет координаты
v
z
v
y
u
z
u
y
A
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ,
v
x
v
z
u
x
u
z
B
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ,
v
y
v
x
u
y
u
x
C
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ,
а его направляющие косинусы соответственно равны
222
),cos(
CBA
A
xN
++
=
,
222
),cos(
CBA
B
yN
++
=
,
222
),cos(
CBA
C
zN
++
=
3.5. Измерение на поверхности длин, углов, площадей. Первая
квадратичная форма поверхности
Для решения многих физических, технических и геометрических задач
нужно уметь вычислять длины дуг, лежащих на поверхности, углы между
такими дугами, площади тех или иных частей поверхности.
(3.6) 
        Подставив эти выражения в уравнение (3.4), получаем уравнение
плоскости, касательной к поверхности F ( x, y, z ) = 0 :
Fx ' ( x0 , y0 , z 0 )( x − x0 ) + Fy ' ( x0 , y0 , z 0 )( y − y0 ) + Fz ' ( x0 , y0 , z 0 )( z − z 0 ) = 0 .      (3.5)

Здесь значения Fx' , Fy' и Fz' берутся в точке касания ( x0 , y 0 , z 0 ) .

        Нормаль к поверхности. Пусть F (x, y, z) = 0 – неявное уравнение
поверхности.                Нормаль к поверхности (перпендикулярная прямая к
касательной плоскости в точке касания) имеет вид:
                                   x − x0                  y − y0                 z − z0
                                                    =                      =                        .
                             Fx ' ( x0 , y 0 , z 0 ) Fy ' ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ' ( x0 , y 0 , z 0 )

        Вычислим               направляющие                     косинусы               вектора           N = [r u , r v ] ,

нормального к поверхности, заданной уравнением                                             r = r (u, v) . Так как

                                 ⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞                       ⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞
                            ru = ⎜ , , ⎟                     и rv = ⎜ , , ⎟,
                                 ⎝ ∂u ∂u ∂u ⎠                       ⎝ ∂v ∂v ∂v ⎠
то вектор [r u , r v ] имеет координаты
                            ∂y          ∂z             ∂z         ∂x              ∂x           ∂y
                        A = ∂u          ∂u ,       B = ∂u         ∂u ,        C = ∂u           ∂u ,                (3.6)
                            ∂y          ∂z             ∂z         ∂x              ∂x           ∂y
                            ∂v          ∂v             ∂v         ∂v              ∂v           ∂v
а его направляющие косинусы соответственно равны
                                          A                                                      B
             cos( N , x) =                               ,        cos( N , y ) =                             ,
                                    2         2      2                                     2         2   2
                                 A + B +C                                                A + B +C
                                                                     C
                                        cos( N , z ) =
                                                             A2 + B 2 + C 2



    3.5. Измерение на поверхности длин, углов, площадей. Первая
квадратичная форма поверхности

        Для решения многих физических, технических и геометрических задач
нужно уметь вычислять длины дуг, лежащих на поверхности, углы между
такими дугами, площади тех или иных частей поверхности.
                                                                                                                        28

Страницы