Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 26 стр.

                                ⎛ xu                    yu   zu ⎞
Тогда матрица А примет вид A = ⎜⎜                                 ⎟ и состоит из координат
                                ⎝ xv                    yv   z v ⎟⎠

векторов r u и r v . Условие, что ранг A равен двум означает, что векторы r u
и r v не коллинеарны. Далее будем рассматривать только такие векторы.
         Как известно, из курса математического анализа, если функции x(u, v)
                                             xu y u
и y(u, v) удовлетворяют условию                       ≠ 0 , то вблизи данных значении u, v
                                             xv y v

и соответствующих им значении x и y уравнения x=x(u, v) и y=y(u, v) могут
быть разрешены относительно u, v. Таким образом, u=u(x, y), v=v(x, y) и
получаем z = z{u ( x, y ), v( x, y )} или z = f ( x, y ) – уравнение поверхности в
явном виде.


      3.3. Кривые на поверхности

      Рассмотрим на поверхности F множество точек, криволинейные
координаты                       которых              определяются               уравнениями:
u=u(t), v=v(t), где t – независимая переменная. Тогда векторная функция
каждой          точки        поверхности      может          быть     записана      в    виде:
r = r (u (t ), v(t )) .    При изменении параметра, вектор r описывает своим
концом некоторую кривую γ в пространстве, тем самым кривую γ на
поверхности F.
           В параграфе 3.1 построена, так называемая сеть кривых на
поверхности или координатная сеть.


        3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

        Рассмотрим                всевозможные          кривые         на
поверхности, проходящие через данную точку М , и
касательные векторы к ним в этой точке (рис. 7).
Каждый           из       этих    векторов   представляет           собой
                                                                                   Рисунок 7

                                                                                               26