Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 27 стр.

линейную комбинацию векторов r u и r v , т. е. лежит в определяемой
этими векторами плоскости. Эта плоскость называется касательной
плоскостью к данной поверхности в точке М . Напишем уравнение
касательной плоскости. Поскольку векторы                                ru       и     rv    лежат в
касательной плоскости, вектор N = [r u , r v ] нормален к ней и уравнение
этой плоскости имеет вид:
                                      (ρ − r, N ) = 0 ,                                            (3.2)

здесь r – радиус-вектор точки касания, ρ – радиус-вектор текущей
точки касательной плоскости.
       Пусть поверхность задана уравнением z = f ( x, y ) , т. е. в век-

торной форме          r = xi + y j + f ( x, y )k . Напишем уравнение касательной

плоскости для такой поверхности. Имеем                      r x = i + f x' k ,       r y = j + f y' k

и, следовательно,
                              N = [r x, r y ] = − f x i − f y j + k .                             (3.3)

       Подставив в уравнение касательной плоскости (3.2) вместо ρ − r

вектор (x − x0 )i + ( y − y0 ) j + (z − z0 )k , а вместо нормального вектора N его
выражение        (3.3),   получим        уравнение         касательной                плоскости          к
поверхности z = f ( x, y ) в точке ( x0 , y 0 , z 0 ) :

                          z - z0 = f x' (x - x0 ) + f y' (y - y0 ).                               (3.4)

где значения производных f x' и f y' берутся в точке касания ( x0 , y0 ) .

       Если     поверхность       задана       неявным         уравнением               F ( x, y, z ) = 0 ,
которое определяет z как дифференцируемую функцию от x и y, то
                                        ∂F         ∂F
                                 ∂z          ∂z    ∂y
                                    = − ∂x ,    =−    .
                                 ∂x     ∂F ∂y      ∂F
                                        ∂z         ∂z



                                                                                                        27