Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

25
Замечание 3.1. Уравнение ),( y
x
f
z
=
можно рассматривать как
частный случай параметрического уравнения, если принять
x и y за
параметры и положить kyxfjyixr ),(++= .
В дальнейшем мы будем рассматривать поверхности, заданные
именно параметрическими уравнениями, причем функцию
),( vur будем
предполагать непрерывной и имеющей непрерывные частные
производные по
u и
v
. В некоторых случаях, нам придется
потребовать также существования и непрерывности ее частных
производных второго порядка.
3.2. Регулярная поверхность
Пусть Ф – элементарная поверхность, заданная уравнением
kvuzjvuyivuxr ),(),(),( ++= .
Определение 3.3. Поверхность Ф называется регулярной (k раз
дифференцируемой
), если функции x, y, z имеют непрерывные, частные
производные до порядка k включительно, причём в каждой точке
G
v
u
M
∈
),(
ранг матрицы
А =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
v
z
v
y
v
x
u
z
u
y
u
x
равен двум.
При k = 1 поверхность называется гладкой.
Замечание 3.2. Частные производные
u
vux
u
x
∂
∂
=
∂
∂
),(
,
u
y
∂
∂
и т.д. функций
x, y, z будем обозначать
K,,
uu
yx
. Таким образом,
u
x
u
x
=
∂
∂
,
v
x
v
x
=
∂
∂
.
Найдём частные производные радиус–вектора
по u и v:
kzjyixr
uuu
u
++= , kzjyixr
vvv
v
++= . 
      Замечание 3.1. Уравнение z = f ( x, y ) можно рассматривать как
частный случай параметрического уравнения, если принять x и y за
параметры и положить                    r = xi + y j + f ( x, y ) k .

         В дальнейшем мы будем рассматривать поверхности, заданные
именно параметрическими уравнениями, причем функцию r (u , v) будем
предполагать            непрерывной               и     имеющей           непрерывные         частные
производные по                u     и      v.    В некоторых случаях, нам придется
потребовать также существования и непрерывности ее частных
производных второго порядка.


       3.2. Регулярная поверхность

       Пусть        Ф     –       элементарная          поверхность,             заданная   уравнением
r = x(u , v)i + y (u , v) j + z (u , v)k .
       Определение 3.3. Поверхность Ф называется регулярной (k раз
дифференцируемой), если функции x, y, z имеют непрерывные, частные
производные до порядка k включительно, причём в каждой точке M (u , v) ∈ G


                 ⎛∂x                     ∂y     ∂z⎞
                 ⎜                                 ⎟
ранг матрицы А = ⎜ ∂ u                   ∂u     ∂u ⎟        равен двум.
                 ⎜∂x                     ∂y     ∂z⎟
                 ⎜                                 ⎟
                 ⎝ ∂v                    ∂v     ∂v ⎠

       При k = 1 поверхность называется гладкой.
                                                                ∂ x ∂ x(u , v) ∂ y
       Замечание 3.2. Частные производные                          =          ,    и т.д. функций
                                                                ∂u     ∂u       ∂u
                                                                           ∂x        ∂x
x, y, z будем обозначать xu , yu ,K . Таким образом,                          = xu ,    = xv .
                                                                           ∂u        ∂v

       Найдём частные производные радиус–вектора r по u и v:
          r u = xu i + yu j + zu k ,              r v = xv i + y v j + z v k .


                                                                                                    25

Страницы