Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 23 стр.

       3. Теория поверхностей в дифференциальной геометрии

       3.1. Элементарная поверхность

       Определение 3.1.     Область на плоскости называется элементарной
областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,
т.е. при взаимно однозначном и непрерывном отображении.
       Таким образом, внутренность квадрата, прямоугольника, эллипса – всё
это элементарные области.
        Пусть Ф – элементарная поверхность и G – элементарная область на
плоскости, являющаяся образом Ф при гомеоморфизме.
         Определение 3.2. Поверхностью F        в пространстве называется
множество точек пространства, которое можно покрыть конечным или
счётным множеством элементарных поверхностей.
         Из этого определения следует, что для любой точки M поверхности
F существует элементарная поверхность Ф, такая, что M ∈ Ф ⊂ F , т.е. у
каждой     точки   поверхности     существует    окрестность,   являющаяся
элементарной.
          Введем понятие координат на поверхности.
           Пусть на некоторой поверхности F
задано однопараметрическое семейство линий,
т.е.     каждая     линия      этого    семейства
характеризуется      определенным       значением
некоторого параметра. Назовем это семейство                Рисунок 6
правильным , если через каждую точку поверхности проходит одна и
только одна линия из данного семейства. Если на поверхности даны два
правильных семейства, такие, что каждая из линий первого семейства
пересекается без касания с каждой линией второго семейства не более
чем в одной точке, то говорят, что на поверхности задана координат-
ная сеть . Пусть линии первого из семейств, образующих коорди-
натную сеть, определяются значениями некоторого параметра и. А

                                                                        23