Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

22
Пример 2.2. Найти кривизну и кручение винтовой линии
kbtjtaitar )()sin()cos( ++= , a>0.
Решение. Найдем производные вектор – функции
bkjtaitar ++−= )cos()sin(' ,
jtaitar )sin()cos(" −+−= ,
jtaitar )cos()sin('" −+= .
Теперь определим векторное произведение
[]
.)cos()sin(
)cossin()cos()sin(
0sincos
cossin",'
2
2222
kajtabitab
ktatajtabitab
tata
btata
kji
rr
+−=
=++−=
−−
−=
Далее для смешанного произведения имеем
batatab
tata
tata
btata
rrr
22222
)sincos(
0cossin
0sincos
cossin
'""' =+=
−
−−
−
=⋅⋅ .
Найдём длины векторов.
2222222
cossin' babtatar +=++= ,
[]
224224222222
cossin",' baaabaatbatbarr +=+=++= ,
[]
)(cossin",'
2224222222
2
baaatbatbarr +=++=
.
Отсюда кривизна будет равна
22
22
22
)(
ba
a
ba
baa
k
+
=
+
+
= , кручение
22222
2
)( ba
b
baa
ba
+
=
+
=
χ
.
Следовательно, для винтовой линии кривизна и кручение постоянны. ■ 
        Пример              2.2.      Найти       кривизну          и        кручение      винтовой    линии
r = (a cos t )i + (a sin t ) j + (bt )k , a>0.
        Решение. Найдем производные вектор – функции
                                     r ' = (− a sin t )i + (a cos t ) j + bk ,

                                     r" = (−a cos t )i + (−a sin t ) j ,

                                     r" ' = (a sin t )i + (− a cos t ) j .
Теперь определим векторное произведение
                   i                 j       k
[r ', r"] =    − a sin t          a cos t    b = (ab sin t )i − (ab cos t ) j + (a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t )k =
              − a cos t          − a sin t   0
= (ab sin t )i − (ab cos t ) j + a 2 k .


Далее для смешанного произведения имеем
                   − a sin t          a cos t     b
  r '⋅r"⋅r" ' = − a cos t            − a sin t    0 = b(a 2 cos 2 t + a 2 sin 2 t ) = a 2 b .
                       a sin t      − a cos t 0
Найдём длины векторов.

                            r ' = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t + b 2 = a 2 + b 2 ,

              [r ', r"] =        a 2b 2 sin 2 t + a 2b 2 cos 2 t + a 4 = a 2b 2 + a 4 = a a 2 + b 2 ,

                       [r ', r"] 2 = a 2b 2 sin 2 t + a 2b 2 cos 2 t + a 4 = a 2 (a 2 + b 2 ) .
                                                                        a a2 + b2           a
Отсюда           кривизна                будет     равна         k=                   =          ,   кручение
                                                                        ( a2 + b2 )       a + b2
                                                                                           2




            a 2b           b
χ=                    =          .
      a 2 (a 2 + b 2 ) a 2 + b 2
Следовательно, для винтовой линии кривизна и кручение постоянны. ■




                                                                                                           22

Страницы