Дифференциальная геометрия. Романова Е.Г. - 20 стр.

      Плоскость, содержащая векторы τ и ν является соприкасающейся
плоскостью; содержащая векторы                 ν и β – нормальной плоскостью;
содержащая векторы β и τ – спрямляющей плоскостью.
        Трёхгранник с вершиной в точке                  M, образованный этими тремя
плоскостями,         называются              сопровождающим                    трёхгранником
пространственной кривой (рис. 5).
      Так как вектор ν – единичный, т.е. постоянной длины, то ν ' ⊥ ν и значит
вектор ν ' , параллелен спрямляющейся плоскости. Поэтому его можно
разложить по векторам τ и β

                                   ν ' = ατ + χ β ,                                      (2.15)

где α , χ – координаты в базисе τ , β .

  Тождество        τ ⋅ν = 0       дифференцируем                       по    параметру          s:
τ '⋅ν + τ ⋅ν ' . Если в этом равенстве τ ' и ν ' заменить формулами (2.14) и (2.15),
то получим     kν ⋅ν + τ ⋅ (ατ + χ β ) = 0          или            kν ⋅ν + ατ ⋅ τ + χτ ⋅ β = 0 .
Учитывая, что ν ν = τ τ = 1 , т.к. это скалярное произведение                      единичных
векторов, а τ ⋅ β = 0 , как скалярное произведение                          перпендикулярных
векторов. Тогда будем иметь, что k = −α и, отсюда, α = −k . Формула (2.15)
принимает вид после подстановки α = − k
                                     ν ' = −kτ + χ β .                                 (2.16)
                       [ ]
      Тождество β = τ ,ν дифференцируем по параметру s:
                                              [ ] [ ]
                                         β ' = τ ',ν + τ ,ν ' .
Заменяя здесь векторы τ ' и ν ' их выражения через (2.12) и (2.14), находим,
что
                                     [        ] [ [
                                β ' = kν ,ν + τ , − kτ , χ β .    ]]
               [ ]
Отсюда β '= χ τ , β или β ' = − χν . Здесь взят знак “минус“, так как тройка

векторов τ , β ,ν – левая; а число χ есть кручение линии γ в точке M.
      Мы получили следующие формулы Френе:
                                                                                         (2.17)
                                                                                             20